Giải SBT toán 10 kết nối Bài tập cuối chương IV

Trả lời: Chọn đáp án A. 6.

Các vectơ cùng phương với $\overrightarrow{AC}$ là: 

$\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{CO}$, $\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{OA}$

Trả lời: Chọn đáp án: C. Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng hướng.

Trả lời: Chọn đáp án: B. 6.

Hình bình hành ABCD có AB = CD

Có K, M lần lượt là trung điểm AB, CD nên ta có AK = KB = CM = DM (1)

Có NL là đường trung bình hình bình hành ABCD nên NL // AB hay AN // BL

Suy ra tứ giác ABLN là hình bình hành cho nên AB = NL

Có O là trung điểm NL, K là trung điểm AB, AB = NL

Suy ra AK = NO = OL = AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra ÂK = KB = NO = OL = DM = MC

Mà KB, NO, OL, DM, MC song song với AK

Suy ra $\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{KB} = \overrightarrow{NO} = \overrightarrow{OL} = \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{MC}$

Trả lời: Chọn đáp án: D. |$\overrightarrow{AC}$| = 1.

Hình thoi ABCD có $\widehat{DAB} = 120^{o}$

$\Rightarrow \widehat{BAC} = \widehat{DAC} = 60^{o}$

Xét tam giác ABC có AB = BC nên tam giác ABC cân tại B

Lại có  $\widehat{BAC} = 60^{o}$ nên tam giác BAC là tam giác đều

$\Rightarrow AC = 1$ hay |$\overrightarrow{AC}$| = 1.

Trả lời: Chọn đáp án: A. $\sqrt{3}$.

Giả sử M là trung điểm BC $\Rightarrow AM = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác ABC đều có G là trọng tâm

$\Rightarrow \overrightarrow{AG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow |\overrightarrow{AG}| = \frac{2}{3}|\overrightarrow{AM}| = \frac{2}{3} . \frac{3\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Trả lời: Chọn đáp án: B. $2\sqrt{13}$.

Có $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$

$\Leftrightarrow |\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AB}|^{2} = (2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC})^{2} = 4\overrightarrow{AB}^{2} - 4.\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC}^{2}$

$\Leftrightarrow |\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AB}|^{2} = 4\overrightarrow{AB}^{2} + \overrightarrow{AC}^{2} = 4 . 9 + 16 = 52$

$\Leftrightarrow |\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AB}|= 2\sqrt{13}$

Trả lời: Chọn đáp án: C.4. 

M là trung điểm BC $\Rightarrow BM = \frac{1}{2} BC = 2$

Xét tam giác ABM có AB = BM = 2

Nên tam giác ABM là tam giác cân tại B

Có $\widehat{ABC} = 60^{o}$ nên ta, giác ABM là tam giác đều

$\Rightarrow$ AM = 2

Có $|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BA}| = |\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}| = 2|\overrightarrow{AM}| = 4$

Trả lời: Chọn đáp án: D. $\overrightarrow{AI} = \frac{\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}}{3}$.

Có $\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AI}) + 2(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AI}) = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AI} = \frac{\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}}{3}$

Trả lời: Chọn đáp án: B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG}$.

G là trọng tâm tam giác ABC 

M là trung điểm BC

Nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG}$

Trả lời: Chọn đáp án: A. (1; 2).

G là trọng tâm tam giác ABC

$\Rightarrow$

Vậy G(1; 2)

Trả lời: Chọn đáp án: B. (4; 5).

Giả sử G là trọng tâm tam giác ABC và điểm C(x; y)

$\Rightarrow$

Trả lời: Chọn đáp án: C. $a^{2}$.

Hình vuông ABCD có $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = a^{2} + a^{2} = 2a$

$\Rightarrow AC = a\sqrt{2}$

Có $\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} = AB . AC . cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = a . a\sqrt{2} . cos45^{o} = a^{2}$

Trả lời: Chọn đáp án: C. $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

$\overrightarrow{a} .  \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| . |\overrightarrow{b}|$

$\Leftrightarrow cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = 1$

$\Leftrightarrow = (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = 0^{o}$

$\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

Trả lời: Chọn đáp án: B. $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.

$\overrightarrow{a} .  \overrightarrow{b} = |-\overrightarrow{a}| . |\overrightarrow{b}|$

$\Leftrightarrow cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = -1$

$\Leftrightarrow = (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = 180^{o}$

$\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.

Trả lời: Chọn đáp án: D. -3.

Gọi D là điểm đối xứng B qua C

Áp dụng định lí côsin ta có:

$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2.AB.AC.cos\widehat{ABC}$

$\Rightarrow AC^{2} = 1 + 4 - 2.1.2.cos60^{o}$

$\Rightarrow AC^{2} = 3$

$\Rightarrow AC = \sqrt{3}$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{AB}{sinACB} = \frac{AC}{sin\widehat{ABC}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{sin\widehat{ACB}} = \frac{\sqrt{3}}{sin60^{o}}$

$\Leftrightarrow sin\widehat{ACB} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \widehat{ACB} = 30^{o}$

$\Rightarrow \widehat{ACD} = 180^{o} - 30^{o} = 150^{o}$

Có $\overrightarrow{BC} . \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CD} . \overrightarrow{CA}.cos(\overrightarrow{CD}, \overrightarrow{CA}) = 2.2.cos150^{o} = -3$

Trả lời: Chọn đáp án: B. m = 2.

Có $\overrightarrow{AB}$ = (-3; 6) và $\overrightarrow{OC}$ = (3m; 2m - 1)

AB $\perp$ OC $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{OC} = 0$

$\Leftrightarrow -3 . 3m + 6(2m - 1) = 0$

$\Leftrightarrow m = 2$

Trả lời: Chọn đáp án: C. 0.

Có $\frac{CN}{CA} = \frac{CM}{CB} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow$ MN // AB hay MN // AP (1)

Có $\frac{BP}{BA} = \frac{BM}{BC} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow$ MP // AC hay MP // AN (2)

Có AP = $\frac{2}{3}$AB = $\frac{2}{3} . 1 = \frac{2}{3}$ và AN = $\frac{1}{3}$AC = $\frac{2}{3}$

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác APMN là hình bình hành

Có $\widehat{PAN} = 90^{o}$ và AP = AN = $\frac{2}{3}$

Suy ra tứ giác APMN là hình vuông

$\Rightarrow AP \perp PN$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM} . \overrightarrow{NP} = 0$

Trả lời: Chọn đáp án: A. $\frac{5}{12}$

Đặt AP = x (0 < x < 1)

Có $\overrightarrow{PN} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} -x\overrightarrow{AB}$

Có $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

Có AM $\perp$ NP $\Rightarrow \overrightarrow{AM} . \overrightarrow{PN} = 0$

$\Leftrightarrow (\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}) . (\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} -x\overrightarrow{AB}) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{9}\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} - \frac{x}{3}\overrightarrow{AB}^{2} + \frac{1}{9}\overrightarrow{AC}^{2}  - \frac{2x}{3}\overrightarrow{AC} . \overrightarrow{AB} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{9} . \frac{1}{2} - \frac{x}{3} + \frac{2}{9} - \frac{2x}{3} . \frac{1}{2} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{18} - \frac{x}{3} + \frac{2}{9} - \frac{x}{3} = 0$

$\Leftrightarrow 1 - 6x + 4 - 6x = 0$

$\Leftrightarrow x = \frac{5}{12}$

Trả lời: Chọn đáp án: B. $-\frac{a^{2}}{2}$.

Có $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{MC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CB} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

Có $\overrightarrow{MA} . \overrightarrow{MC} = (- \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}) . (\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC})$

$ = -\frac{1}{9}\overrightarrow{AB}^{2} + \frac{2}{9}\overrightarrow{AC}^{2} - \frac{1}{9}\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC}$

$ = -\frac{1}{9}\overrightarrow{AB}^{2} + \frac{2}{9}\overrightarrow{AC}^{2} - \frac{1}{9}\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} . cos\widehat{BAC}$

$ = -\frac{1}{9}9a^{2} + \frac{2}{9}9a^{2} - \frac{1}{9}.9a^{2}. cos60^{o}$

$ = -\frac{1}{9}9a^{2} + \frac{2}{9}9a^{2} - \frac{1}{9}.9a^{2}. cos60^{o}$

$ = -\frac{a^{2}}{2}$

Trả lời: Chọn đáp án: A. đường tròn tâm A bán kính BC.

Có $|\overrightarrow{MC} - \overrightarrow{MB}| = |\overrightarrow{MC} - \overrightarrow{AC}|$

$\Leftrightarrow |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{AC}|$

$\Leftrightarrow |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{MA}|$

Vậy tập hợp điểm M là đường trong tâm A bán kính BC 

Trả lời:

a) Các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$ là:  $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{NM}$, $\overrightarrow{CD}$

Các vectơ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$ là: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{NO}$, $\overrightarrow{OM}$, $\overrightarrow{CD}$

b) Có I là trọng tâm tam giác ABC

$\Rightarrow \overrightarrow{BI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BO} = \frac{2}{3} . \frac{1}{2}\overrightarrow{BD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$ (1)

Có J là trọng tâm tam giác ACD

$\Rightarrow \overrightarrow{JD} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OD} = \frac{2}{3} . \frac{1}{2}\overrightarrow{BD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$ (2)

Có $\overrightarrow{BD}  = \overrightarrow{BI} + \overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{JD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BI} - \overrightarrow{JD} = \overrightarrow{BD} - \frac{1}{3}\overrightarrow{BD} - \frac{1}{3}\overrightarrow{BD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{JD} \Rightarrow BI = IJ = JD$

Trả lời:

a) Có BM = MN = NC nên $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{NC}$ ngược hướng

Nên $\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{0}$

Vậy tam giác ABC và tam giác AMN có cùng trọng tâm

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC 

Đặt $\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{v}$

$\Rightarrow \overrightarrow{GA} +  \overrightarrow{GB} +  \overrightarrow{GC} =  \overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{GA} =  -\overrightarrow{GB} -  \overrightarrow{GC} =  \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = -(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})$

Có $\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{BM}$

$\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{GB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} =  \overrightarrow{GB} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{GC} -  \overrightarrow{GB}) = \frac{2}{3}\overrightarrow{GB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{GC} = \frac{1}{3}(2\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})$

Có $\overrightarrow{GN} = \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{CN}$

$\overrightarrow{GN} = \overrightarrow{GC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{GC} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{GB} - \overrightarrow{GC}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{GB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{GC} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v})$

Trả lời:

a) Có $\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} = AB . AC . cos\widehat{CAB} = 4.5.cos60^{o} = 10$

$\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} ( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}^{2} = 10 - 4^{2} = -6$

b) Có $2\overrightarrow{AM} + 3\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}) + 3(\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{BM} = -2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{AB} + 3(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = -\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$ (1)

Có $\overrightarrow{NB} + x\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AN}) + x(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AN}) = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow (1 + x)\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + x\overrightarrow{AC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $(1 + x)\overrightarrow{AN} . \overrightarrow{BM} = (\overrightarrow{AB} + x\overrightarrow{AC}) (-\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC})$

$\Leftrightarrow (1 + x)\overrightarrow{AN} . \overrightarrow{BM} = -\overrightarrow{AB}^{2} +3\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} - x\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} + 3x\overrightarrow{AC}^{2}$

$\Leftrightarrow (1 + x)\overrightarrow{AN} . \overrightarrow{BM} = -16 + 3.10 - x.10 + 3x.25 = 65x + 14$

Để AN $\perp$ BM $\Leftrightarrow \overrightarrow{AN} . \overrightarrow{BM} = 0$

$\Leftrightarrow 65x + 14 = 0$

$\Leftrightarrow x = \frac{-16}{64}$ (thỏa mãn)

Trả lời:

a) Có

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DP} = \overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3} . \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{3}\overrightarrow{u} + \frac{1}{3}\overrightarrow{v}$

Có BQ = xQN

$\Rightarrow \overrightarrow{BQ} = x\overrightarrow{QN}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AB} = x(\overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AQ})$

$\Leftrightarrow (x + 1)\overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AB} x\overrightarrow{AN}$

$\Leftrightarrow (x + 1)\overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{DN}) = x\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + x.\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow (x + 1)\overrightarrow{AQ} = x\overrightarrow{AD} + (\frac{1}{2}x + 1)\overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow (x + 1)\overrightarrow{AQ} = x\overrightarrow{u} + (\frac{1}{2}x + 1)\overrightarrow{v}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AQ} = \frac{x + 2}{2(x + 1)}\overrightarrow{u} + \frac{x}{x + 1}\overrightarrow{v}$

b) A, P, Q thằng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow{AP} và  \overrightarrow{AQ}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{x + 2}{2(x + 1)} : \frac{2}{3} = \frac{x}{x + 1} : \frac{2}{3}$ với x $\neq$ -1

$\Leftrightarrow \frac{x + 2}{2} = x$

$\Leftrightarrow x = 2$ thỏa mãn điều kiện

Trả lời:

Có G và G' lần lượt là trọng tâm tam giác BC và tam giác A'B'C'

$\Rightarrow \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{G'A'} + \overrightarrow{G'B'} + \overrightarrow{G'C'} = \overrightarrow{0}$

Ta có $\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BB}' + \overrightarrow{CC'} = 3 \overrightarrow{GG'}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{CA} = 3\overrightarrow{GG'}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{BA} = 3\overrightarrow{GG'}$

Vậy AB '// GG'

Trả lời:

a) Có $\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{FC} = (\overrightarrow{AK} + \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{LE}) + ( \overrightarrow{FK} + \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{LC})$

$\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{FC} = 2\overrightarrow{KL} + (\overrightarrow{AK} + \overrightarrow{FK}) + (\overrightarrow{LE} + \overrightarrow{LC})$

$\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{FC} = 2\overrightarrow{KL}$ (1)

Có $\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{DF} = (\overrightarrow{EN} + \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MB}) + ( \overrightarrow{DN} + \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MF})$

$\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{DF} = 2\overrightarrow{NM} + (\overrightarrow{EN} + \overrightarrow{FN}) + (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MF})$

$\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{DF} = 2\overrightarrow{MN}$ (2)

Có $\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{FC} = \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{DF}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{NM}$

Vậy tứ giác MNKL là hình bình hành

b) Gọi I là trung điểm KM, LN có:

$\overrightarrow{EI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{EN} + \overrightarrow{EL}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\overrightarrow{ED} + \frac{1}{2}\overrightarrow{EC}$

$\overrightarrow{EI} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{ED} + \overrightarrow{EC}) = \frac{1}{4} . 2\overrightarrow{EF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{EF}$

Suy ra $\overrightarrow{EI}$ và $\overrightarrow{EF}$ cùng hướng

Vậy ba điểm E, I, F thẳng hàng

Trả lời:

a) Có BC = 2 và AD =1

BC // AD (ABCD là hình thang vuông tại A, B)

$\Rightarrow \overrightarrow{BC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$

Có $\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$

Có $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$

b) Có G là trọng tâm tam giác MCD

$\Rightarrow 3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{AD} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow 6. 3\overrightarrow{AG} = 18\overrightarrow{AG} = 9\overrightarrow{AB} + 8\overrightarrow{AD}$ (1)

Có 9IC = 5ID

$\Rightarrow 9\overrightarrow{IC} + 5\overrightarrow{ID} = 0$

$\Leftrightarrow 9(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AI}) + 5(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AI}) = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 14\overrightarrow{AI} = 9\overrightarrow{AC} + 5\overrightarrow{AD}$

$\Leftrightarrow 14\overrightarrow{AI} = 9(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + 5\overrightarrow{AD} = 9\overrightarrow{AB} + 9.\frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + 5\overrightarrow{AD}$

$\Leftrightarrow 14\overrightarrow{AI} = 9\overrightarrow{AB} + 8\overrightarrow{AD}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $18\overrightarrow{AG} = 14\overrightarrow{AI}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{AI}$ cùng hướng

Vậy ba điểm A, G, I thẳng hàng

c) Có $14\overrightarrow{AI} = 9\overrightarrow{AB} + 8\overrightarrow{AD}$ (chứng minh câu b)

$\Rightarrow (14\overrightarrow{AI})^{2} = (9\overrightarrow{AB} + 8\overrightarrow{AD})^{2} = 81\overrightarrow{AB}^{2} + 144\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AD} + 64\overrightarrow{AD}^{2}$

$\Rightarrow 194\overrightarrow{AI}^{2} = 81\overrightarrow{AB}^{2} + 64\overrightarrow{AD}^{2} = 81 . 4 + 64 . 9 = 900$

$\Rightarrow AI^{2} = \frac{900}{196}$

Vậy AI = $\frac{15}{7}$

Có $\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{AB} = \frac{9}{14}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{7}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \frac{4}{7}\overrightarrow{AD} - \frac{5}{14}\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow BI^{2} = (\frac{4}{7}\overrightarrow{AD} - \frac{5}{14}\overrightarrow{AB})^{2} = \frac{16}{49}\overrightarrow{AD}^{2} - \frac{20}{49}\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} + \frac{25}{196}\overrightarrow{AB}^{2}$

$\Rightarrow BI^{2} = \frac{16}{49}\overrightarrow{AD}^{2} + \frac{25}{196}\overrightarrow{AB}^{2} = \frac{16}{49}. 9 + \frac{25}{196}. 4 = \frac{169}{49}$

Vậy BI = $\frac{13}{7}$

Có $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$

$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$

Có:

$\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} . \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} . \overrightarrow{BD}$

= $\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) + (\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}) (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD})$

$\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} . \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} . \overrightarrow{BD}$

= $\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} . \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}^{2} + \overrightarrow{BC} . \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BA} . \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} . \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{BC}^{2} - \overrightarrow{BC} . \overrightarrow{CD}$

$\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} . \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} . \overrightarrow{BD}$

= $(\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BA} . \overrightarrow{CD}) + (\overrightarrow{BC} . \overrightarrow{AB}$

+ $\overrightarrow{BA} . \overrightarrow{BC}) +(\overrightarrow{BC}^{2} - \overrightarrow{BC}^{2}) + (\overrightarrow{BC} . \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{BC} . \overrightarrow{CD}$)

= 0

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} . \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} . \overrightarrow{BD}$ = 0

Trả lời:

a) $\overrightarrow{a} . \overrightarrow{b}$ = 1 . 3 + 2 . (-4) = -5

$\overrightarrow{b} . \overrightarrow{c}$ = 3 . (-5) + (-4) . 3 = -27

$\overrightarrow{c} . \overrightarrow{a}$ = -5 . 1 + 3 . 2 = 1

b) $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}$

$\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (-2; -1)$

$|\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}| = \sqrt{(-2)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{5}$

$\overrightarrow{a} . (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$ = 1 . (-2) + 2 . (-1) = -4

$cos(\overrightarrow{a}; \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \frac{\overrightarrow{a} . (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})}{|\overrightarrow{a}| . |\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}|} = \frac{-4}{\sqrt{5} . \sqrt{5}} = \frac{-4}{5}$

Vậy $(\overrightarrow{a}; \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) \approx 143^{o}$

Trả lời:

a) $\overrightarrow{AB}$ = (3; 3), $\overrightarrow{AC}$ = (7; -3)

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương

$\Rightarrow$ ba điểm A, B, C không thẳng hàng

G là trọng tâm tam giác ABC

$\Rightarrow$

Vậy G($\frac{4}{3}$; 1)

b) Giả sử H$(x_{H}; y_{H})$ là trực tâm tam giác ABC

Có $\overrightarrow{BH} = (x_{H} - 1; y_{H} - 4)$ và $\overrightarrow{CH} = (x_{H} - 5; y_{H} + 2)$ 

$\Rightarrow$

$\Leftrightarrow$

Vậy H$(\frac{2}{15}; \frac{13}{5})$

Gọi I$(x_{I}; y_{I})$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Có $\overrightarrow{IH} = (\frac{2}{5} - x_{I}; \frac{13}{5} - y_{I})$ và $\overrightarrow{IG} = (\frac{4}{3} - x_{I}; 1 - y_{I})$

Có  $\overrightarrow{IH} = 3\overrightarrow{IG}$

$\Leftrightarrow (\frac{2}{5} - x_{I}; \frac{13}{5} - y_{I}) = 3\frac{4}{3} - x_{I}; 1 - y_{I}$

$\Leftrightarrow$

Vậy I$(\frac{9}{5}; \frac{1}{5})$

Trả lời:

a) Điểm D thuộc trục hoành nên điểm D$(x_{D}; 0)$

Có $\overrightarrow{BD} = (x_{D} - 5; - 3)$ và $\overrightarrow{CD} = (x_{D} + 2; 9)$

Ba điểm B, C, D thẳng hàng

$\Leftrightarrow \overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{x_{D} - 5}{3} = \frac{x_{D} + 2}{9}$

$\Leftrightarrow x = \frac{17}{2}$

Vậy điểm D$(\frac{17}{2}; 0)$

b) Điểm F thuộc trục hoành nên điểm E$(x_{E}; 0)$

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có EA + EB $\geq$ AB

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi E là giao điểm của AB với Õ

Có $\overrightarrow{AE} = (x_{E} - 2; 1)$ và $\overrightarrow{AB}$ = (3; 4) 

E $\in$ AB $\Leftrightarrow \overrightarrow{AE}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{x_{E} - 2}{1} = \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow x = \frac{11}{4}$

Vậy điểm E$(\frac{11}{4}; 0)$

c) G là trọng tâm tam giác ABC nên G$(\frac{1}{3}; \frac{11}{3})$

Điểm F thuộc trục tung nên điểm F$(0; y_{F})$

Có $\overrightarrow{FA} + \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{FC} = 3\overrightarrow{FG}$

$\overrightarrow{FA} + \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{FC}$ có độ dài ngắn nhất

$\Leftrightarrow \overrightarrow{FG}$ có độ dài ngắn nhất

$\Leftrightarrow$ F là hình chiếu của G trên trục Oy

Vậy điểm F$(0; \frac{11}{3})$

Trả lời:

Trọng lực của ô tô có độ lớn bằng $|\overrightarrow{P}|$ = 2500 x 10 = 25 000 (N)

Trọng lực $\overrightarrow{P}$ của ô tô hợp với hướng chuyển dời $\overrightarrow{MN}$ một góc $\alpha$= $90^{o} + 15^{o} = 105^{o}$

Trọng lực $\overrightarrow{P}$ được phân tích thành hai thành phần $\overrightarrow{P_{1}}$ và $\overrightarrow{P_{2}}$: $\overrightarrow{P} = \overrightarrow{P_{1}} + \overrightarrow{P_{2}}$ trong đó $\overrightarrow{P_{1}}$ có phương vuông góc với mặt dốc, $\overrightarrow{P_{2}}$ có phương song song với  mặt dốc 

Ta nhận thấy rằng $\overrightarrow{P_{1}}$ không có tác dụng đối với chuyển dời $\overrightarrow{MN}$ của xe, còn $\overrightarrow{P_{2}}$ ngược hướng với $\overrightarrow{MN}$. Do đó, công của trọng lực tác động lên xe bằng

A = $\overrightarrow{P} . \overrightarrow{MN} = |\overrightarrow{P}| . |\overrightarrow{MN}| . cos(\overrightarrow{P}, \overrightarrow{MN})$ 

= 25 000 .  50 - cos$105^{o}$ $\approx$ -323 524 (J)