Giải SBT toán 10 kết nối bài 6 Hệ thức lượng trong tam giác

Trả lời:

a) Độ dài các cạnh còn lại của tam giác.

Áp dụng định lí sin ta có: 

a = $\frac{c}{sinC}$ . sinA = $\frac{12}{sin30^{o}}$ . $sin45^{o}$ = $\frac{12}{\frac{1}{2}}.\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $12\sqrt{2}$

Có $\widehat{A}$ = $45^{o}$, $\widehat{C}$ = $30^{o}$ nên

$\widehat{B}$ = $180^{o}$ - $45^{o}$ - $30^{o}$ = $105^{o}$ 

Mà $sin105^{o}$ = $sin60^{o}$ + $sin45^{o}$

Như vậy b = $\frac{c}{sinC}$ . sinB = $\frac{12}{sin30^{o}}$ . ($sin60^{o}$ + $sin45^{o}$)

= $\frac{12}{\frac{1}{2}}.(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}})$ = $6\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$

b) Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác là: 

R = $\frac{c}{2sin{C}}$ = $\frac{12}{2sin30^{o}}$ = $\frac{12}{2.\frac{1}{2}}$ = 12

c) Diện tích của tam giác là: 

S = $\frac{1}{2}bc sinA$ = $\frac{1}{2}.6\sqrt{2}(\sqrt{3}+1).12.sin45^{o}$ = $\frac{1}{2}.6\sqrt{2}(\sqrt{3}+1).12.\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $36(\sqrt{3}+1)$

d) Độ dài các đường cao của tam giác.

Áp dụng công thức S = $\frac{1}{2}a.h_{a}$

Như vậy ta có:

$h_{a}$ = S : $\frac{1}{2}a$ = $3\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$ 

$h_{b}$ = S : $\frac{1}{2}b$ = $6\sqrt{2}$

$h_{c}$ = S : $\frac{1}{2}c$ = $6(\sqrt{3}+1)$ 

Trả lời:

a) cosA = $\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ = $\frac{6^{2}+15^{2}-19^{2}}{2.6.15}$ = $\frac{-5}{9}$

b) Nửa chu vi của tam giác:

p = $\frac{a+b+c}{2}$ = $\frac{19+6+15}{2}$ = 20

Diện tích của tam giác là: 

S = $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ = $\sqrt{20(20-19)(20-6)(20-15)}$ = $10\sqrt{14}$ 

c) Độ dài đường cao $h_{c}$:

S = $\frac{1}{2}.c.h_{c}$ 

$h_{c}$ = S : $\frac{1}{2}.c$ = $10\sqrt{14}$ : ($\frac{1}{2}.15$) = $\frac{4\sqrt{14}}{3}$

d) Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác:

S = p.r 

r = S : p = $10\sqrt{14}$ : 20 = $\frac{\sqrt{14}}{2}$

Trả lời:

a)

• Áp dụng định lí cosin ta có:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab cosC$ 

$c^{2} = 4^{2} + 5^{2} - 2.4.5 cos60$

$c^{2} = 16 + 25 - 2.4.5.\frac{1}{2}$

$c^{2} = 21$

c = $\sqrt{21}$

• Áp dụng định lí sin ta có:

sinA = $\frac{a}{c}$.sinC

sin A = $\frac{4}{\sqrt{21}}$.sin60

sin A = $\frac{4}{\sqrt{21}}.\frac{\sqrt{3}}{2}$

sin A = $\frac{2}{\sqrt{7}}$

$\Rightarrow \widehat{A} \approx 49^{o}6'24''$

sin B = $\frac{b}{c}$.sinC 

sin B = $\frac{5}{\sqrt{21}}$.sin60

sin B = $\frac{5}{\sqrt{21}}.\frac{\sqrt{3}}{2}$

sin B = $\frac{5}{2\sqrt{7}}$

$\Rightarrow \widehat{A} \approx 70^{o}53'36''$

b) Diện tích của tam giác là: 

S = $\frac{1}{2}ab.sinC$

S = $\frac{1}{2}.4.5.sin60$

S = $\frac{1}{2}.4.5.\frac{\sqrt{3}}{2}$

S = $5\sqrt{3}$

c) Độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác là:

$m_{a}^{2} = \frac{b^{2}+c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}$

$m_{a}^{2} = \frac{5^{2}+\sqrt{21}^{2}}{2} - \frac{4^{2}}{4}$

$m_{a} = 5\sqrt{3}$

Trả lời:

a) Từ giả thuyết suy ra $\widehat{ABC} = (90^{o}-24^{o}) + (90^{o}-36^{o}) = 120^{o}$ 

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta được:

$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2.AB.BC.cos\widehat{ABC}$

$AC^{2} = 2500 + 16900 - 2.50.130.(\frac{-1}{2})$

AC = $10\sqrt{259} \approx 161$ (km)

b) Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta được: 

$sin\widehat{CAB} = \frac{BC}{AC}.sin\widehat{ABC}$

$sin\widehat{CAB} = \frac{130}{161}.sin120$

$sin\widehat{CAB} \approx 0,6993$

$\widehat{CAB} \approx 44^{o}$

Do AC chếch về hướng tây một góc $44^{o} - 24^{o} = 20^{o}$ so với phương bắc

Vậy hướng từ A tới C là $N20^{o}W$

Trả lời:

Coi điểm xuất phát là A, điểm tàu chuyển hướng là B và đích đến là C 

Theo giả thuyết ta có: $\widehat{ABC} = 180^{o} - 10^{o} + 20^{o} = 150^{o}$

Do tàu chạy từ A tới B với vận tốc 20km/h trong 30 phút nên: AB = 20. $\frac{30}{60}$ = 10 (km)

Do tàu chạy từ B tới C với vận tốc 20km/h trong 36 phút nên: AB = 20. $\frac{36}{60}$ = 12 (km)

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta được:

$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2.AB.BC.cos\widehat{ABC}$

$AC^{2} = 10^{2} + 12^{2} - 2.10.12.cos150$

$AC^{2} \approx 452$

AC $\approx$ 21 (km) 

Trả lời: 

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

h = $\approx$ 20,23 (m) 

Trả lời:

a) Từ định lí côsin và công thức tính diện tích tam giác, suy ra:

cot A = $\frac{cos A}{sin A}$ = $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc. sin A}$ = $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4S}$

Tương tự ta có cot B = $\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{4S}$

Tương tự ta có cot C = $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4S}$

Từ đó cot A + cot B + cot C = $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4S}$

b) Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến ta có:

$m_{a}^{2} = \frac{b^{2}+c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}$

$m_{b}^{2} = \frac{a^{2}+c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4}$

$m_{c}^{2} = \frac{b^{2}+a^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4}$

Do đó:

$m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2}$ = $\frac{b^{2}+c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{2}+c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4} + \frac{b^{2}+a^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4}$

$m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2}$ = $\frac{2+(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2} - \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}$

$m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2}$ = $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) - \frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2}$ =  $\frac{3}{4}(a^{2} + b^{2} + c^{2})$

Trả lời:

a) Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA 

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC 

Khi đó AG = $\frac{2}{3}$AM, BG = $\frac{2}{3}$BN

Từ đó, theo định lí Pytago ta có:

$c^{2} = AB^{2} = AG^{2} + BG^{2} = \frac{4}{9}(\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4}) + \frac{4}{9}(\frac{c^{2}+a^{2}}{2}-\frac{b^{2}}{4})$

$c^{2} = \frac{a}{9}(c^{2}+\frac{a^{2}+b^{2}}{4})$

Suy ra $5c^{2}=a^{2}+b^{2}$

b) Do $5c^{2}=a^{2}+b^{2}$ nên cot C = $\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4S} = \frac{c^{2}}{S}$

2(cot A + cot B) = 2$(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4S} + \frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{4S}) = \frac{c^{2}}{S}$ 

Suy ra cot C = 2(cot A + cot B)

Trả lời:

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2R$

$\Rightarrow sin A = \frac{a}{2R}$, $sin B = \frac{b}{2R}$, $sin C = \frac{c}{2R}$

Đề bài có $\frac{sin A}{1} = \frac{sin B}{2} = \frac{sin C}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \frac{\frac{a}{2R}}{1}=\frac{\frac{b}{2R}}{2}=\frac{\frac{c}{2R}}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{\sqrt{3}}$

Giả sử $\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{\sqrt{3}}$ = t

Suy ra a = t, b = 2t, c = $\sqrt{3}$t

Suy ra $a^{2} = t^{2}$, $b = 4t^{2}$, $c = 3t^{2}$

Có $a^{2} + c^{2} = b^{2} = 4t^{2}$

Áp dụng định lí Pytago đảo của tam giác ABC vuông tại B ta có: sin B = 1

$\Rightarrow \frac{sin A}{1} = \frac{1}{2} = \frac{sin C}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow sin A = \frac{1}{2}$ và sin C = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Như vậy $\widehat{A} = 30^{o}$, $\widehat{B} = 90^{o}$, $\widehat{C} = 60^{o}$

Trả lời:

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có: 

$\frac{a}{sin A}$ = $\frac{b}{sin B}$ = $\frac{c}{sin C}$ 

$\Rightarrow$  a = 2R.sinA, b = 2R.sinB, c = 2R.sinC

Áp dụng diện tích tam giác ta có:

S = $\frac{abc}{4R}$  =  $\frac{(2R.sinA)(2RsinB).(2R.sinC)}{4R}$

$\Rightarrow$ S = $\frac{8R^{3}.sinA.sinB.sinC}{4R}$

$\Rightarrow$ S = $8R^{2}.sinA.sinB.sinC$

Theo đề bài có S = $2R^{2}.sinA.sinB$

Do đó sinC = 1

$\Rightarrow$ $\widehat{C} = 90^{o}$

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại C