Giải SBT toán 10 kết nối bài 5 Giá trị lượng giác của một góc từ 0o đến 180o
Tài liệu hướng dẫn giải Toán lớp 10 Kết Nối Tri Thức của Giaibaitapsgk có đủ cả tập 1, tập 2 và được chia theo từng tuần học đảm bảo các em có thể nhanh chóng tra cứu. Dựa vào đáp án để so sánh kết quả nhận ra điểm sai trong các bước giải của mình, đồng thời cũng làm quen với các dạng toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Ngoài ra, chúng tôi cũng hỗ trợ giải vở bài tập Toán 10 theo từng trang.
Hướng dẫn giải bài 5 Giá trị lượng giác của một góc từ 0o đến 180o trang 29 SBT toán 10 tập 1. Đây là sách bài tập nằm trong bộ sách "Kết nối tri thức" được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết học sinh sẽ nắm bài học tốt hơn.
Bài tập 3.1. Tính giá trị của các biểu thức:
a) A = sin$45^{o}$ + 2sin$60^{o}$ + tan$120^{o}$ + cos$135^{o}$;
b) B = tan$45^{o}$ . cot$135^{o}$ - sin$30^{o}$ . cos$120^{o}$ - sin$60^{o}$ . cos$150^{o}$;
c) C = $cos^{2}$$5^{o}$ + $cos^{2}$$25^{o}$ + $cos^{2}$$45^{o}$ + $cos^{2}$$65^{o}$ + $cos^{2}$$85^{o}$;
d) D = $\frac{1}{1 + tan^{2}73^{o}}$ - 4tan$75^{o}$ . cot$105^{o}$ + $12sin^{2}$$107^{o}$ - 2tan$40^{o}$ . cos$60^{o}$ . tan$50^{o}$;
e) E = 4tan$32^{o}$ . cos$60^{o}$ . cot$148^{o}$ + $\frac{5cot^{2}108^{o}}{1 + tan^{2}18^{o}}$ + 5$sin^{2}$$72^{o}$
Trả lời:
a) A = sin$45^{o}$ + 2sin$60^{o}$ + tan$120^{o}$ + cos$135^{o}$
A = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + 2.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ + $-\sqrt{3}$ - $\frac{1}{\sqrt{2}}$
A = 0
b) B = tan$45^{o}$ . cot$135^{o}$ - sin$30^{o}$ . cos$120^{o}$ - sin$60^{o}$ . cos$150^{o}$
B = 1 . (-1) - $\frac{1}{2}$ . $\frac{1}{2}$ - $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . (-$\frac{\sqrt{3}}{2}$)
B = 0
c) C = $cos^{2}$$5^{o}$ + $cos^{2}$$25^{o}$ + $cos^{2}$$45^{o}$ + $cos^{2}$$65^{o}$ + $cos^{2}$$85^{o}$
Do $5^{o}$ = $90^{o}$ - $85^{o}$, $25^{o}$ = $90^{o}$ - $65^{o}$
Như vậy, ta có: $cos5^{o}$ = $sin45^{o}$, $cos^{2}$$25^{o}$ = $sin65^{o}$
C = ($sin^ {2}$$85^{o}$ + $cos^{2}$$85^{o}$) + ($sin^ {2}$$65^{o}$ + $cos^{2}$$65^{o}$) + $cos^{2}$$45^{o}$
C = 1 + 1 + $\frac{1}{2}$
C = $\frac{5}{2}$
d) D = $\frac{1}{1 + tan^{2}73^{o}}$ - 4tan$75^{o}$ . cot$105^{o}$ + $12sin^{2}$$107^{o}$ - 2tan$40^{o}$ . cos$60^{o}$ . tan$50^{o}$;
Do $73^{o}$ + $107^{o}$ = $75^{o}$ + $105^{o}$ = $100^{o}$
Như vậy, ta có:
(1) $\frac{1}{1 + tan^{2}73^{o}}$ + $12sin^{2}$$107^{o}$ = 12($cos^{2}$$73^{o}$ + $sin^{2}$$73^{o}$ = 12
(2) tan$75^{o}$ . cot$105^{o}$ = tan$75^{o}$ . (-cot$75^{o}$) = -1
Do $40^{o}$ + $50^{o}$ = $90^{o}$
Như vậy, ta có:
(3) tan$40^{o}$ . tan$50^{o}$ = tan$40^{o}$ . cot$40^{o}$
Từ (1), (2) và (3) suy ra D = 12 - 4 . (-1) - 2 . 1 . $\frac{1}{2}$ = 15
e) E = 4tan$32^{o}$ . cos$60^{o}$ . cot$148^{o}$ + $\frac{5cot^{2}108^{o}}{1 + tan^{2}18^{o}}$ + 5$sin^{2}$$72^{o}$
Do $148^{o}$ + $32^{o}$ = $108^{o}$ + $72^{o}$ = $180^{o}$
Và $72^{o}$ + $18^{o}$ = $90^{o}$
Nên E = 4tan$32^{o}$ . (-cot$32^{o}$) . cos$60^{o}$ + 5(-cot$72^{o})^{2}$ . $cos^{2}18^{o}$ + 5$cos^{2}18^{o}$
E = 4 . (-1) . $\frac{1}{2}$ + 5 . 1 = 3
Bài tập 3.2. Cho góc $\alpha$, $90^{o}$ < $\alpha$ < $180^{o}$ thỏa mãn sin$\alpha$ = $\frac{3}{4}$. Tính giá trị của biểu thức:
F = $\frac{tan\alpha + 2cot\alpha}{tan\alpha + cot\alpha}$
Trả lời:
Do $90^{o}$ < $\alpha$ < $180^{o}$ nên cos$\alpha$ = $-\sqrt{1 - sin^{2}\alpha}$ = $\frac{-\sqrt{7}}{4}$
Vậy F = $\frac{23}{16}$
Bài tập 3.3. Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $0^{o}$ < $\alpha$ < $180^{o}$, tan$\alpha$ = 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) G = 2sin$\alpha$ + cos$\alpha$;
b) H = $\frac{2sin\alpha + cos\alpha}{sin\alpha - cos\alpha}$.
Trả lời:
a) G = 2sin$\alpha$ + cos$\alpha$
Do tan$\alpha$ > 0 nên $\alpha$ là góc nhọn.
G = $2\frac{sin\alpha}{cos\alpha} + \frac{cos\alpha}{cos\alpha}$
G = $\sqrt{5}$
b) H = $\frac{2sin\alpha + cos\alpha}{sin\alpha - cos\alpha}$
Do tan$\alpha$ > 0 nên $\alpha$ là góc nhọn.
H = $\frac{2\frac{sin\alpha}{cos\alpha}+\frac{cos\alpha}{cos\alpha}}{\frac{sin\alpha}{cos\alpha}-\frac{cos\alpha}{cos\alpha}}$
H = $\frac{2.tan\alpha+1}{tan\alpha-1}$
H = $\frac{2.2+1}{2-1}$
H = 5
Bài tập 3.4*. Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $0^{o}$ < $\alpha$ < $180^{o}$, tan$\alpha$ = $\sqrt{2}$. Tính giá trị của biểu thức
K = $\frac{sin^{3}\alpha + sin\alpha . cos^{2}\alpha + 2sin^{2}\alpha . cos\alpha - 4cos^{3}\alpha}{sin\alpha - cos\alpha}$
Trả lời:
Do tan$\alpha$ = $\sqrt{2}$ > 0 nên $\alpha$ là góc nhọn và cos$\alpha$ > 0
K = $\frac{sin^{3}\alpha + sin\alpha . cos^{2}\alpha + 2sin^{2}\alpha . cos\alpha - 4cos^{3}\alpha}{sin\alpha - cos\alpha}$
K = $\frac{\frac{sin^{3}\alpha}{cos^{3}\alpha} + \frac{sin\alpha . cos^{2}\alpha}{cos^{3}\alpha} + \frac{2sin^{2}\alpha . cos\alpha}{cos^{3}\alpha} - \frac{4cos^{3}\alpha}{cos^{3}\alpha}}{\frac{sin\alpha}{cos^{3}\alpha} - \frac{cos\alpha}{cos^{3}\alpha}}$
K = $\frac{tan^{3}\alpha + tan\alpha + 2tan^{2}\alpha - 4}{tan\alpha.(1 + tan^{2}\alpha) - (1+tan^{2}\alpha)}$
K = $\frac{2\sqrt{2} + \sqrt{2} + 4 - 4}{\sqrt{2} . 3 - 3}$
K = $\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)$
Bài tập 3.5. Chứng minh rằng:
a) $sin^{4}\alpha + cos^{4}\alpha = 1 - 2sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha$;
b) $sin^{6}\alpha + cos^{6}\alpha = 1 - 3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha$;
c*) $\sqrt{sin^{4}\alpha + 6cos^{2}\alpha + 3} + \sqrt{cos^{4}\alpha + 4sin^{2}\alpha}$ = 4.
Trả lời:
a) $sin^{4}\alpha + cos^{4}\alpha = 1 - 2sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha$
Xét $sin^{4}\alpha + cos^{4}\alpha$
= $(sin^{2}\alpha)^{2} + (cos^{2}\alpha)^{2}$
= $sin^{2}\alpha + 2sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha + cos^{2}\alpha - 2sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha$
= $(sin^{2}\alpha + 2sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha + cos^{2}\alpha) - 2sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha$
= $(sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha)^{2} - 2sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha$
= 1 - $2sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha$
b) $sin^{6}\alpha + cos^{6}\alpha = 1 - 3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha$
Xét $sin^{6}\alpha + cos^{6}\alpha$
= $(sin^{2}\alpha)^{3} + (cos^{2}\alpha)^{3}$
= $(sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha).(sin^{4}\alpha - sin^{2}\alpha cos^{2}+cos^{4}\alpha)$
= $(sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha).(sin^{4}\alpha + 2sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha + cos^{4}\alpha - 3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha)$
= 1.$(sin^{4}\alpha + 2sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha + cos^{4}\alpha - 3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha)$
= $(sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha)^{2} - 3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha$
= 1 - $3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha$
c*) $\sqrt{sin^{4}\alpha + 6cos^{2}\alpha + 3} + \sqrt{cos^{4}\alpha + 4sin^{2}\alpha}$ = 4
Xét $\sqrt{sin^{4}\alpha + 6cos^{2}\alpha + 3} + \sqrt{cos^{4}\alpha + 4sin^{2}\alpha}$
= $\sqrt{(1-cos^{2}\alpha)^{2} + 6cos^{2}\alpha + 3} + \sqrt{(cos^{2})^{2} + 4sin^{2}\alpha}$
= $\sqrt{4 + 4cos^{2}\alpha + cos^{4}\alpha} + \sqrt{1 + 2sin^{2}\alpha + sin^{4}\alpha}$
= $(2 + cos^{2}\alpha) + (1 + sin^{2}\alpha)$
= 4
Bài tập 3.6. Góc nghiêng của Mặt Trời tại một vị trí trên Trái Đất là góc nghiêng giữa tia nắng lúc giữa trưa với mặt đất. Trong thực tế, để đo trực tiếp góc này, vào giữa trưa (khoảng 12 giờ), em có thể dựng một thước thẳng vuông góc với mặt đất, đo độ dài của bóng thước trên mặt đất. Khi đó, tang của góc nghiêng Mặt Trời tại vị trí đặt thước bằng tỉ số giữa độ dài của thước và độ dài của bóng thước. Góc nghiêng của Mặt Trời phụ thuộc vào vĩ độ của vị trí đo và phụ thuộc vào thời gian đo trong năm (ngày thứ mấy trong năm). Tại vị trí có vĩ độ $\phi$ và ngày thứ N trong năm, góc nghiêng của Mặt Trời $\alpha$ còn được tính theo công thức sau:
$\alpha = 90^{o} - \phi - |cos((\frac{2(N+10)}{365}- m) 180^{o})| . 23,5^{o}$
trong đó m = 0 nếu 1 $\leq$ N $\leq$ 172, m = 1 nếu 173 $\leq$ N $\leq$ 355, m = 2 nếu 356 $\leq$ N $\leq$ 365.
a) Hãy áp dụng công thức trên để tính góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày 10/10 trong năm không nhuận (năm mà tháng 2 có 28 ngày) tại vị trí có vĩ độ $\phi$ = $20^{o}$.
b) Hãy xác định vĩ độ tại nơi em sinh sống và tính góc nghiêng của Mặt Trời tại đó theo hai cách đã được đề cập trong bài toán (đo trực tiếp và tính theo công thức) và so sánh hai kết quả thu được.
Chú ý. Công thức tinh toán nói trên chinh xác tới $\pm$$0,5^{o}$.
Góc nghiêng của Mặt Trời có ảnh hưởng tới sự hấp thụ nhiệt từ Mặt Trời của Trái Đất, tạo nên các mùa trong năm trên Trái Đất, chẳng hạn, vào mùa hè, góc nghiêng lớn nên nhiệt độ cao.
Trả lời:
a) Ngày 10/10 là ngày thứ 283 của năm không nhuận. Do đó, góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày này tại vĩ độ $\phi$ = $20^{o}$ bằng:
$\alpha = 90^{o} - 20^{0} - |cos((\frac{2(283+10)}{365}- 1) 180^{o})| . 23,5^{o}$
$\alpha = 70^{o} - |cos(\frac{221}{365} . 180^{o})| . 23,5^{o}$
$\alpha = 62,35^{o}$
b) Chú ý. Vĩ độ của nơi có góc nghiêng Mặt Trời $\alpha$ vào ngày thứ N trong năm bằng:
$\phi = 90^{o} - \alpha - |cos(\frac{2(N+10)}{365} -1)| . 23,5^{o}$
Ngoài giải bài tập Toán lớp 10 Kết Nối Tri Thức của Giaibaitapsgk sẽ cung cấp đầy đủ từng bước trong bài giải vở bài tập Toán lớp 10. Dựa vào đó các em cũng có thể nhận ra những điểm sai hoặc thiếu của mình khi làm bài và chủ động sửa đổi.
Toàn bộ hướng dẫn giải bài tập Toán lớp 10 sách Kết Nối Tri Thức sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh rút ngắn thời gian làm bài tập về nhà, bậc phụ huynh có thể hiểu được cách giải Toán 10theo chương trình mới. Song song với đó Giaibaitapsgk cũng cung cấp bộ câu hỏi trắc nghiệm, phiếu bài tập cuối tuần để thầy cô, phụ huynh tham khảo giúp con có thêm cơ hội rèn luyện với nhiều dạng Toán lớp 10 nâng cao khác nhau.