Lời giải bài 4 chuyên đề Ứng dụng nghiệm phương trình bậc hai

01 Đề bài:

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số sau : 

$y=\frac{3\sqrt{x+3}+4\sqrt{1-x}+1}{4\sqrt{x+3}+3\sqrt{x-1}+1}$                 (1)

02 Bài giải:

Đk : $-3\leq x\leq 1$

Khi đó ta có :  $(\sqrt{x+3})^{2}+(\sqrt{1-x})^{2}=4$

<=>  Ta đặt :  $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+3}=2\frac{2t}{1+t^{2}} & \\  \sqrt{1-x}=2\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}& \end{matrix}\right.$  ($0\leq t\leq 1$)

(1)  <=>  $y=\frac{-7t^{2}+12t+9}{-5t^{2}+16t+7}$

<=>        $y{-5t^{2}+16t+7}=-7t^{2}+12t+9$

<=>        $(5y-7)t^{2}+(12-16y)t+9-7y=0$                               (2) 

Nếu  5y - 7 = 0 <=> $y=\frac{7}{5}$  , (2)  => $t=\frac{-1}{13}\notin \begin{bmatrix}0,1\end{bmatrix}$ .

Nếu  $5y - 7  \neq 0$  <=> $y\neq \frac{7}{5}$ 

Đặt $f(t)=(5y-7)t^{2}+(12-16y)y+9-7y$

+ Nếu $f(t)=0$  có 2 nghiệm $t_{1},t_{2}$  thỏa mãn : Hoặc là $0\leq t_{1}< 1\leq t_{2}$ hoặc  $ t_{1}< 0\leq t_{2}< 1$

<=>  $f(0).f(1)\leq 0$ <=>  $\frac{7}{9}\leq y\leq \frac{9}{7}$ .

+  Nếu $f(t)=0$  có 2 nghiệm $t_{1},t_{2}$  thỏa mãn  :  $0< t_{1}\leq t_{2}< 1$

         

Vậy  Max(y) = $\frac{9}{7}$  và  Min(y) = $\frac{7}{9}$ .