Đề ôn thi môn toán lớp 9 lên 10 (đề 20)

1. Ta có:  $3(x-1)=5x+2 <=>3x-3=5x+2<=>2x=-5<=>x= -\frac{5}{2}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x= -\frac{5}{2}$

2. a. Khi $x=-5$ ta có:

$A=\sqrt{5+2\sqrt{5-1}}+\sqrt{5-2\sqrt{5-1}}=\sqrt{5+2\sqrt{4}}+\sqrt{5-2\sqrt{4}}$

$=\sqrt{5+2.2}+\sqrt{5-2.2}=\sqrt{9}+\sqrt{1}=3 +1 = 4$

Vậy khi $x=5$ thì A = 4.

b. Với $1\leq x\leq 2$ ta có:

$A=\sqrt{x+2\sqrt{x+1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}+1}=\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}$

$=\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^{2}}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^{2}}=\left | \sqrt{x-1}+1 \right |+\left | \sqrt{x-1}-1 \right |$

$=\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}$ $(1\leq x\leq 2\Rightarrow 0\leq \sqrt{x-1}\leq 1\Rightarrow \sqrt{x-1}-1\leq 0)$

$=2$

Vậy khi $1\leq x\leq 2$ thì $A = 2$

a. Với $m=6$ ta có phương trình: $x^{2} – 5x + 6 = 0$

$ \Delta =25-4.6=1$. Suy ra phương trình có hai nghiệm: $x_{1}=3$; x_{2}=2$

b. Ta có: $ \Delta =25-4.m$

Để phương trình đã cho có hai nghiệm thì $\Delta \geq 0\Leftrightarrow m\leq \frac{25}{4}(*)$

Theo hệ thức vi-ét, ta có: $x_{1}+x_{2}=5(1);x_{1}x_{2}=m(2)$

Mặt khác theo bài ra thì $\left | x_{1}-x_{2} \right |=3$ (3).

Từ (1) và (3) suy ra: $x_{1}=4,x_{2}=1$ hoặc $x_{1}=1,x_{2}=4$ (4)

Từ (2) và (4) suy ra: $m=4$.

Gọi số học sinh trường A đăng ký hoạt động là $x$ (học sinh), $(x<760,x∈N∗)$.

Gọi số học sinh trường B đăng ký hoạt động là $y$ (học sinh), $(y<760,y∈N∗)$

Khi đó tổng số học sinh hai trường đăng kí là: $x+y=760$(1)

Số học sinh hai trường tham gia là: $760.\frac{85}{100}=646$(học sinh).

Số học sinh trường A tham gia là: $80%x=\frac{4}{5}x$ (học sinh).

Số học sinh trường B tham gia là: $89,5%y=\frac{179}{200}y$ (học sinh).

Theo đề bài ta có phương trình: $\frac{4}{5}x+\frac{179}{200}y=646$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x+y=760& & \\\frac{4}{5}x+\frac{179}{200}y= 646& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+y=760& & \\ 160x+179y=129200& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}160x+160y=121600& & \\ 160x+179y=129200& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}19y=7600& & \\ x=760 -y& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y = 400(tm)& & \\ x= 360 (tm)& & \end{matrix}\right.$

Vậy ban đầu trường A có 360 học sinh đăng ký, trường B có 400 học sinh đăng ký.

Hình vẽ:

a.   Ta có : $\widehat{DBO}=90^{\circ}$ ,$\widehat{DFO}=90^{\circ}$  (t/c tiếp tuyến)

=>   $\widehat{DBO}+\widehat{DFO}=180^{\circ}$

=>  Tứ giác OBDF nội tiếp đường tròn.  (đpcm)

=>  Khi đó Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác OBDF chính là trung điểm của OD ( IO = ID ).

b.  Áp dụng địn lý Py- ta-go cho tam giác OFA vuông ở F , ta có :

  $OA=\sqrt{OF^{2}+AF^{2}}=\sqrt{R^{2}+(\frac{4R}{3})^{2}}=\frac{5R}{3}$

=>  $\cos \widehat{FAO}=\frac{AF}{OA}=\frac{4R}{3}:\frac{5R}{3}=0,8$

Mà $ \widehat{FAO}=\widehat{DAB}$  

=>    $\cos \widehat{FAO}=\cos \widehat{DAB}$

=>    $\cos \widehat{DAB}=0,8$ .

c.  Ta có : OM // BD   ($\perp BC$  )

=> $ \widehat{MOD}=\widehat{BDO}$    ( so le trong )

     $ \widehat{ODM}=\widehat{BDO}$    ( t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau )

=>  $ \widehat{MDO}=\widehat{MOD}$ 

Vậy tam giác MOD cân tại M  => MD = MO .

Áp dụng hệ quả định lí Talet cho tam giác ABD , ta có : 

  $\frac{BD}{OM}=\frac{AD}{AM}<=> \frac{BD}{DM}=\frac{AD}{AM}$

<=>  $ \frac{BD}{DM}=\frac{AM+DM}{AM}1+\frac{DM}{AM}$

<=>  $ \frac{BD}{DM}-\frac{DM}{AM}=1$   (đpcm) .

d.  

+  Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác OAM vuông ở O có OF ⊥ AM ta được:

   $OF^{2}=MF.AF<=> R^{2}=MF.\frac{4R}{3}=> MF=\frac{3R}{4}$

+  Áp dụng định lí pi ta go cho tam giác MFO vuông tại F ta được:

    $OM=\sqrt{OF^{2}+MF^{2}}=\sqrt{R^{2}+(\frac{3R}{3})^{2}}=\frac{5R}{4}$

+  Vì OM // BD => $\frac{OM}{BD}=\frac{AO}{AB}$

<=>  $BD=\frac{OM.AB}{OA}=\frac{5R}{4}(\frac{5R}{3}+R):\frac{5R}{3}=2R$

Gọi S là diện tích phần hình tứ giác OBDM ở bên ngoài nửa đường tròn (O) .

   S1 là diện tích hình thang OBDM;  S2 là diện tích hình quạt góc ở tâm $\widehat{BON}=90^{\circ}$

Ta có : S = S1 - S2 

+  S1 = $\frac{1}{2}(OM+BD).OB=\frac{1}{2}(\frac{5R}{4}+2R).R=\frac{13R^{2}}{8}$   (đvdt)

+  S2 = $\frac{\Pi R^{2}.90^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{\Pi R^{2}}{4}$    (đvdt)

=>  S = S1 - S2 = $\frac{13R^{2}}{8}-\frac{\Pi R^{2}}{4}=\frac{R^{2}}{8}(13-2\Pi )$   (đvdt)

Vậy diện tích phần hình tứ giác OBDM ở bên ngoài nửa đường tròn (O) theo R là $S=\frac{R^{2}}{8}(13-2\Pi )$ .

Ta có :   $\Delta = (m – 1) ^{2} \geq 0   \forall m$

Để phương trình có hai nghiệm x1, x2 phân biệt <=>  $\Delta >  0  <=>m-1\neq 0<=> m\neq 1$

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{\begin{matrix}x_{1} +x_{2}=3m-1& \\ x_{1} .x_{2}=2m^{2}-m & \end{matrix}\right.$

Mà  $|x_{1}-x_{2}|=2$  <=>  $(\mid x_{1}-x_{2}\mid )^{2}=2^{2}$

<=>   $x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}=4$

<=>   $(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=4$

<=>   $(3m-1)^{2}-4(2m^{2}-m)=4$

<=>    $\left\{\begin{matrix}m=-1 & \\ m=3 & \end{matrix}\right.$  (thỏa mãn )

Vậy $\left\{\begin{matrix}m=-1 & \\ m=3 & \end{matrix}\right.$  thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt .