Lời giải bài 3 chuyên đề Ứng dụng nghiệm phương trình bậc hai
Bài 3: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x^{2}+a}$ .Tìm điều kiện của a để miền giá trị của hàm số $\begin{bmatrix}0,1\end{bmatrix}$ .
02 Bài giải:Đk : $x^{2}\neq -a$
Gọi T là miền giá trị của hàm số => Tồn tại ít nhất 1 số $y_{0}\in T$ sao cho : $y_{0}=\frac{x+1}{x^{2}+a}$ có nghiệm .
<=> $y_{0}x^{2}+ay_{0}=x+1$
<=> $y_{0}x^{2}-x+ay_{0}-1=0$ (1)
Nếu $y_{0}=0$ ,(1) => x = -1 .Với Đk : $x^{2}\neq -a$ <=> $a\neq -1$
Nếu $y_{0}\neq 0$ , (1) có nghiệm <=> $\Delta {}'\geq 0$
<=> $1-4y_{0}(ay_{0}-1)\geq 0$
<=> $4ay_{0}^{2}-4y_{0}-1\leq 0$ (2)
+ Với a = 0 , (2) => $y_{0}\geq \frac{-1}{4}$ chứa $\begin{bmatrix}0,1\end{bmatrix}$ .
=> a = 0 ( thỏa mãn ) .
+ Với a > 0 , (2) <=> $\frac{1-\sqrt{1+a}}{2a}\leq y\leq \frac{1+\sqrt{1+a}}{2a} (\Delta {}'=4(1+a))$
Để miền giá trị chứa $\begin{bmatrix}0,1\end{bmatrix}$ thì :
$\left\{\begin{matrix}\frac{1-\sqrt{1+a}}{2a}\leq 0 & \\ \frac{1+\sqrt{1+a}}{2a} \geq 1& \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}\sqrt{1+a}\geq 1 (luôn đúng ) & \\ \sqrt{1+a}\geq 2a-1 (*) & \end{matrix}\right.$
(*) <=> Hoặc $2a-1\leq 0$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a+1\geq (2a-1)^{2} & \\ 2a-1\geq 0 & \end{matrix}\right.$
<=> Hoặc $a\leq \frac{1}{2}$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a\geq \frac{1}{2} & \\ 4a^{2}-5a\leq 0& \end{matrix}\right.$
<=> Hoặc $a\leq \frac{1}{2}$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a\geq \frac{1}{2} & \\ 0<a\leq \frac{5}{4}& \end{matrix}\right.$
<=> Hoặc $a\leq \frac{1}{2}$ hoặc $\frac{1}{2}\leq a\leq \frac{5}{4}$
<=> $a\leq \frac{5}{4}$ . (3)
Với a < 0 , $a\leq -1$ => $\Delta {}'=2(1+a)\leq 0$ => (2) luôn đúng .
=> $a\leq -1$ ( thỏa mãn ) .
Với a < 0 , $-1<a<0$ ,Để miền giá trị này chứa (0 , 1) thì :
$\frac{1-\sqrt{1+a}}{2a} \leq 0$
<=> $\sqrt{1+a}\leq 1$
<=> a < 0 . (4)
Từ (3) ,(4) => Giá trị của a thỏa mãn bài ra là : $\left\{\begin{matrix}a\leq \frac{5}{4} & \\ a\neq -1 & \end{matrix}\right.$