Giải SBT toán 7 Kết nối bài 31 Quan hệ giữa các góc và cạnh đối diện trong tam giác
Hướng dẫn giải bài 31 Quan hệ giữa các góc và cạnh đối diện trong tam giác trang 48 SBT toán 7. Đây là vở bài tập nằm trong bộ sách "Kết nối tri thức" được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết học sinh sẽ nắm bài học tốt hơn.
BÀI TẬP
9.1. Tam giác ABC có cạnh BC dài nhất. Chứng minh số đo góc A lớn hơn hoặc bằng $60^{\circ}$
Do cạnh BC dài nhất nên góc A lớn nhất (mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)
=> $\widehat{A} \geq \widehat{B}; \widehat{A} \geq \widehat{C}$
Nếu $\widehat{A}<60^{\circ}=>\widehat{B}<60^{\circ};\widehat{C}<60^{\circ}$
=> $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}<60^{\circ}+60^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}$ (Vô lí)
Vậy $\widehat{A} \geq 60^{\circ}$
9.2. Cho tam giác ABC cân tại A, hai điểm D, E nằm trên đường thẳng BC, D nằm giữa B và C, C nằm giữa D và E. Hãy chứng minh AD < AC < AE.
TH1: AD $\perp $ BC
Khi đó: AC là cạnh huyền, AD là cạnh góc vuông
Nên: AD < AC.
TH2: AD không vuông góc với BC.
Trong 2 góc bù nhau ADB và ADC có 1 góc tù (Hình 9.12): Tam giác ADB là tam giác tù
Cạnh AB đối diện với góc tù ADB nên AD < AB = AC (mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)
Ngược lại, chứng minh tương tự khi tam giác ADC là tam giác tù: AD < AC
Vậy ta luôn có AD < AC (1)
Xét tam giác ACE có góc ACE là góc tù (bù với góc nhọn ACB)
Nên AE > AC (mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD < AC < AE.
9.3. Hãy giải thích tại sao trong tam giác vuông, cạnh huyền dài nhất và trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.
Xét tam giác ABC vuông tại B:
$\widehat{B}=90^{\circ}=>\widehat{B}>\widehat{A};\widehat{B}>\widehat{C}$
Mà cạnh đối diện với góc vuông là AC
Vậy cạnh huyền AC lớn nhất (mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)
Xét tam giác tù ABC với góc A là góc tù:
=> $\widehat{B},\widehat{C}$ là góc nhọn.
=> $\widehat{A}$ là góc lớn nhất.
Cạnh đối diện với góc A là cạnh BC
=> BC là cạnh lớn nhất (mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)
9.4. Cho tam giác ABC với AB > AC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
a) Hãy so sánh hai góc MAB và MAC
b) Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Hỏi D thuộc đoạn thẳng MB hay đoạn thẳng MC? Vì sao?
a) Lấy điểm P sao cho M là trung điểm của AP.
Xét $\Delta AMC$ và $\Delta PMB$ có:
AM = PM
MC = MB
$\widehat{AMC}=\widehat{PMB}$
=>$\Delta AMC=\Delta PMB$ (c−g−c)
=> AC = PM; $\widehat{MAC}=\widehat{MPB}$
Do AB > AC suy ra AB > PB
Xét tam giác ABP có AB > PB
=> $\widehat{MPB}>\widehat{MAB}$
=> $\widehat{MAC}>\widehat{MAB}$
b) Ta có: AD là tia phân giác của góc BAC nên $\widehat{DAB}=\widehat{DAC}=\frac{\widehat{BAC}}{2}=>\widehat{BAC}=2\widehat{DAC}$
Lại có:
$\widehat{MAC}>\widehat{MAB}$ (cmt)
=>$ \widehat{MAC}+\widehat{MAC}>\widehat{MAB}+\widehat{MAC}$
=> $2\widehat{MAC}>\widehat{BAC}$
=> $2\widehat{MAC}>2\widehat{DAC}$
=> $\widehat{MAC}>\widehat{DAC}$
Vậy D thuộc đoạn thẳng MC.