Giải SBT toán 7 Kết nối bài 28 Phép chia đa thức một biến
Hướng dẫn giải bài 28 Phép chia đa thức một biến trang 34 SBT toán 7. Đây là vở bài tập nằm trong bộ sách "Kết nối tri thức" được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết học sinh sẽ nắm bài học tốt hơn.
BÀI TẬP
7.25. Tìm số tự nhiên n sao cho đa thức $1.2x^{5}-3x^{4}+3.7x^{2}$ chia hết cho $x^{n}$.
Đa thức $1.2x^{5}-3x^{4}+3.7x^{2}$ chia hết cho $x^{n}$ khi từng hạng tử của nó chia hết cho $x^{n}$ hay $ 3.7x^{2}$ chia hết cho $x^{n}$.
Suy ra $n\leq 2$ => n $\in ${0; 1; 2}
7.26. Thực hiện các phép chia sau:
a) $(-4x^{5}+2x^{3}-2x^{2}):(-2x^{2})$;
b) $(0.5x^{3}-1.5x^{2}+x):0.5x$;
c) $(x^{3}+2x^{2}-3x+1):\frac{1}{3}x^{2}$.
a) 
b)
c)
7.27. Đặt tính và làm phép chia sau:
a) $(x^{3}-4x^{2}-x+12):(x-3)$;
b) $(2x^{4}-3x^{3}+3x^{2}+6x-14):(x^{2}-2)$.
a) 
b) 
7.28. Khi làm phép chia $(6x^{3}-7x^{2}-x+2):(2x+1)$, bạn Quỳnh cho kết quả đa thức dư là 4x + 2.
a) Không làm phép chia, hãy cho biết bạn Quỳnh đúng hay sai, tại sao?
b) Tìm thương và dư trong phép chia đó.
a) Bạn Quỳnh sai. Vì bậc của đa thức dư = bậc của đa thức chia.
b) 
7.29. Cho hai đa thức $A = 3x^{4}+x^{3}+6x-5$ và $B=x^{2}+1$. Tìm thương Q và dư R trong phép chia A cho B rồi kiểm nghiệm lại rằng A = BQ + R.
Ta được thương là $Q=3x^{2}+x-3$ và dư là $R=5x-2$.
Kiểm nghiệm lại:
$BQ + R =(x^{2}+1)(3x^{2}+x-3)+5x-2=3x^{4}+x^{3}+6x-5=A$
7.30. Thực hiện các phép chia sau:
a) $(2x^{4}+x^{3}-3x^{2}+5x-2):(x^{2}-x+1)$
b) $(x^{4}-x^{3}-x^{2}+3x):(x^{2}-2x+3)$
a) 
b) 
7.31. Cho đa thức $A(x)=3x^{4}+11x^{3}-5x^{2}-19x+10$. Tìm đa thức H(x) sao cho $A(x)=(3x^{2}+2x-5)\times H(x)$.
Ta có: $H(x)=A(x):(3x^{2}+2x-5)$
Vậy $H(x)=x^{2}+3x-2$
7.32. Tìm số m sao cho đa thức $P(x)=2x^{3}-3x^{2}+x+m$ chia hết cho đa thức x + 2.
Để phép chia này là phép chia hết thì m - 30 = 0 => m = 30.
7.33. Cho đa thức P(x). Chứng minh rằng:
a) Nếu P(x) chia hết cho x - a thì a là một nghiệm của đa thức P(x);
b) Nếu x = a là một nghiệm của đa thức P(x) thì P(x) chia hết cho x - a.
a) Giả sử P(x) chia hết cho x - a. Gọi Q(x) là đa thức thương, ta có: P(x) = (x-a)Q(x) (1)
Từ đẳng thức (1), ta có P(a) = 0. Vậy a là một nghiệm của P(x).
b) Ngược lại, cho a là một nghiệm của P(x). Giả sử chia P(x) cho x - a, ta được thương là Q(x) và dư R(x), nghĩa là ta có:
P(x) = (x - a)Q(x) + R(x). (2)
Trong đó hoặc R(x) = 0 hoặc nếu R(x) $\neq $0 thì R(x) phải có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức x - a, tức là nhỏ hơn 1.
Sau đây, ta sẽ chứng tỏ rằng chỉ có thể xảy ra R(x) = 0.
Thật vậy, nếu R(x) $\neq $ 0 thì do bậc của R(x) nhỏ hơn 1 nên R(x) có bậc 0. Nói cách khác, R(x) là một số khác 0 nào đó. Nhưng điều đó là vô lí vì khi đó đẳng thức (2) không thể xảy ra, chẳng hạn khi x = a thì vế trái bằng 0 trong khi vế phải khác 0.
Vậy chỉ có thể xảy ra P(x) = 0, nghĩa là P(x) chia hết cho x - a.