Giải SBT toán 7 Kết nối bài 25 Đa thức một biến
Hướng dẫn giải bài 25 Đa thức một biến trang 24 SBT toán 7. Đây là vở bài tập nằm trong bộ sách "Kết nối tri thức" được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết học sinh sẽ nắm bài học tốt hơn.
BÀI TẬP
7.7. Trong các biểu thức sau đây, biểu thức nào là đa thức một biến?
a) $\frac{x^{2}}{\sqrt{3}}$
b) $\sqrt{2x}$
c) $(1-\sqrt{2})x^{3}+2$
d) $x+\frac{1}{x}$
Đa thức 1 biến là a) c)
7.8. Thu gọn và sắp xếp mỗi đa thức sau đây theo lũy thừa giảm của biến rồi tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đó.
a) $F(x)=-2+4x^{5}-2x^{3}-4x^{5}+3x+3$
b) $G(x)=-5x^{3}+4-3x+4x^{3}+x^{2}+6x-3$
a) $F(x)=-2+4x^{5}-2x^{3}-4x^{5}+3x+3=-2x^{3}+3x+1$
đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là -2, hệ số tự do là 1.
b) $G(x)=-5x^{3}+4-3x+4x^{3}+x^{2}+6x-3=-x^{3}+x^{2}+3x+1$
đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là -1, hệ số tự do là 1.
7.9. Bằng cách tính giá trị của đa thức $F(x)=x^{3}+2x^{2}+x$ tại các giá trị của x thuộc tập hợp {-2; -1; 0; 1; 2}, hãy tìm hai nghiệm của đa thức F(x).
$F(-2)=(-2)^{3}+2\times (-2)^{2}+(-2)=-2$
$F(-1)=(-1)^{3}+2\times (-1)^{2}+(-1)=0$
$F(0)=0^{3}+2\times 0^{2}+0=0$
$F(1)=1^{3}+2\times 1^{2}+1=4$
$F(x)=2^{3}+2\times 2^{2}+2=18$
Hai nghiệm của đa thức F(x) là x = -1 và x = 0
7.10. Tìm đa thức P(x) bậc 3 thỏa mãn các điều kiện sau:
- P(x) khuyết hạng tử bậc 2;
- Hệ số cao nhất là 4;
- Hệ số tự do là 0;
- $x=\frac{1}{2}$ là một nghiệm của P(x).
$P(x) = 4x^{3}-x$
7.11. Cho hai đa thức $A(x)=-x^{4}+2.5x^{3}+3x^{2}-4x$ và $B(x)=x^{4}+\sqrt{2}$
a) Chứng tỏ rằng x = 0 là nghiệm của đa thức A(x) nhưng không là nghiệm của đa thức B(x).
b) Chứng tỏ rằng đa thức B(x) không có nghiệm.
a) $A(0)=-0^{4}+2.5\times 0^{3}+3\times 0^{2}-4\times 0=0$
Suy ra x = 0 là nghiệm của A(x)
$B(0)=0^{4}+\sqrt{2}=\sqrt{2}$
Suy ra x = 0 không là nghiệm của B(x)
b) Ta biết rằng $x^{4}\geq 0$ với mọi giá trị của x. Do đó $B(0)=x^{4}+\sqrt{2}\geq \sqrt{2}$>0$ với mọi giá trị của x. Vậy B(x) không có nghiệm.
7.12. Biết rằng hai đa thức $G(x)=x^{2}-3x+2$ và $H(x)=x^{2}+x-6$ có một nghiệm chung. Hãy tìm nghiệm chung đó.
Giả sử a là nghiệm của hai đa thức, ta có G(a) = H(a) = 0. Từ đó suy ra:
$(a^{2}-3a+2)-(a^{2}+a-6)=G(a)-H(a)=0$
Thu gọn vế trái ta được -4a + 8 = 0 suy ra a = 2. Thử lại bằng cách tính G(2) và H(2), ta thấy x = 2 đúng là nghiệm của cả hai đa thức G(x) và H(x)
7.13. Người ta định dùng những viên gạch với kích thước như nhau để xây một bức tường (có dạng hình hộp chữ nhật) dày 20 cm, dài 6 m và cao x (m). Số gạch đã có là 450 viên.
a) Tìm đa thức (biến x) biểu thị số gạch cần mua thêm để xây tường, biết rằng cứ xây mỗi mét khối tường thì cần 542 viên gạch. Xác định bậc và hệ số tự do của đa thức đó.
b) Nếu chỉ dùng số gạch sẵn có thì xây được bức tường cao khoảng bao nhiêu mét? (tính chính xác đến 0.1 m)
a) Bức tường có dạng hình hộp chữ nhật với a kích thước là 0.2 m; 6m vfa x (m).
Thể tích của nó là $0.2\times 6\times x=1.2x(m^{3})$
Mỗi mét khối tường xây hết 542 viên gạch nên số gạch cần dùng để xây bức tường là $542\times 1.2x=650.4x$ (viên).
Số gạch đã có là 450 viên.
Vậy số gạch cần mua thêm là: F(x) = 650.4x - 450.4
b) Nếu chỉ dùng số gạch sẵn có để xây tường thì số gạch mua thêm là 0, tức là 650.4x - 450 = 0.
Từ đó ta tính được $x=450:650.4\approx 0.7$ (m)
Vậy nếu chỉ dùng số gạch sẵn có thì xây được bức tường cao khoảng 0.7 m
7.14. Tìm các hệ số p và q của đa thức $F(x) =x^{2}+px+q$, biết rằng với số a tùy ý, giá trị của F(x) tại x = a, tức là F(a) luôn bằng $(a+2)^{2}$
Ta có, với số a tùy ý, ta luôn có $a^{2}+pa+q=(a+2)^{2}$
Lấy a = 0, ta có $0^{2}+p\times 0+q=(0+2)^{2}=>q=4$
Lấy a = 1, ta có $1^{2}+p\times 1+4=(1+2)^{2}=> p=4$