Giải SBT toán 7 Kết nối bài 32 Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Hướng dẫn giải bài 32 Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên trang 50 SBT toán 7. Đây là vở bài tập nằm trong bộ sách "Kết nối tri thức" được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết học sinh sẽ nắm bài học tốt hơn.
BÀI TẬP
9.5. Cho hai đường thẳng song song c và d. Chứng minh rằng khoảng cách từ mọi điểm thuộc c đến đường thẳng d bằng nhau và bằng khoảng cách từ mọi điểm thuộc đường thẳng d đến đường thẳng c (khoảng cách đó được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song c và d).
Lấy M, M’ thuộc c (M khác M’), kẻ MH, M’H’ vuông góc với d.
=> MH // MH'
Xét $\Delta MHH'$ và $\Delta H'M'M$ có:
MH’ chung
$\widehat{M1}=\widehat{H'2}$ (so le trong)
$\widehat{M2}=\widehat{H'1}$ (so le trong)
$=> \Delta MHH'=\Delta H'M'M$ (g.c.g) => MH = M'H'
Vậy khoảng cách từ mọi điểm thuộc c đến đường thẳng d bằng nhau và bằng khoảng cách từ mọi điểm thuộc đường thẳng d đến đường thẳng c.
9.6. Cho 2 đểm phân biệt M, M' ở cùng phía đối với đường thẳng d (M, M' không thuộc d). Chứng minh rằng nếu M, M' có cùng khoảng cách đến đường thẳng d thì MM' // d
Kẻ $MH\perp d, M'H' \perp d$ => MH // M'H'
Xét tam giác MHH' và H'M'M có:
MH' chung
MH = H' M' (gt)
$\widehat{HMH'}=\widehat{M'H'M}$ (so le trong)
=>$\Delta MHH'=\Delta H'M'M$ (g.c.g) => $\widehat{MH'H}=\widehat{H'MM'}$
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên MM' // d
9.7. Dùng thước hai lề ta có thể dựng cặp đường thẳng song song với khoảng cách h không đổi.
Cho góc xOy. Dùng thước hai lề dựng cặp đường thẳng song song gồm đường thẳng chứa tia Ox và đường thẳng x’ (sao cho x’ cắt Oy) rồi dùng thước hai lề đó, dựng cặp đường thẳng song song gồm đường thẳng chứa tia Oy và đường thẳng y’ (sao cho y’ cắt Ox).Hai đường thẳng x’ và y’ cắt nhau tại P. Chứng minh rằng tia OP là tia phân giác của góc xOy.
Ta có:
P thuộc x’, x cách x’ khoảng bằng h
=> P cách x khoảng cách h (chứng minh bài 9.5)
P thuộc y’, y cách y’ khoảng bằng h
=> P cách y khoảng bằng h
=> P cách đều 2 đường thẳng Ox, Oy
Mà P nằm trong góc xOy (cách dựng)
=> P nằm trên tia phân giác của góc xOy.
9.8. Cho tam giác ABC cân tại A. Chứng minh rằng khoảng cách từ B đến đường thẳng AC bằng khoảng cách từ C đến đường thẳng AB.
Kẻ BI $\perp $AC; CK $\perp $AB
Xét $\Delta BCK$ và $\Delta CBI$ có:
BC: cạnh chung
$\widehat{BKC}=\widehat{CIB}=90^{\circ}$
$\widehat{B}=\widehat{C}$ (2 góc ở đáy BC của tam giác cân ABC)
=> $\Delta BCK=\Delta CBI$ (cạnh huyền – góc nhọn)
=> CK = BI (cạnh tương ứng)
Vậy khoảng cách từ B đến đường thẳng AC bằng khoảng cách từ C đến đường thẳng AB.
9.9. Cho tam giác ABC cân tại A và một điểm M tùy ý thuộc đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB, AC là một số không đổi.
TH1: Khi M trùng với B hay C thì tổng khoảng cách đó là BI hoặc CK
Theo bài 9.8: BI = CK
TH2: Khi M khác B, khác C
Kẻ MP $\perp $ AC; MQ $\perp $ AB.
=> Tổng khoảng cách đang xét: MQ + MP
Qua M kẻ MR//AC; MR cắt BI tại S.
=> $ \widehat{C}=\widehat{RMB}$ (2 góc đồng vị)
Mà $\widehat{C}=\widehat{B}$
=> $\widehat{B}=\widehat{RMB}$
=> $\Delta $RBM cân tại R
MQ là khoảng cách từ M đến RB, BS là khoảng cách từ B đến RM
Theo bài 9.8: MQ = BS
Ta có: MR // AC, MP và SI có độ dài là khoảng cách giữa hai đường thẳng đó nên MP = SI
Suy ra: MP + MQ = BS + SI = BI = CK.