Giải toán 8 chân trời bài 3 Hằng đẳng thức đáng nhớ
Với bộ tài liệu hướng dẫn giải Toán 8 Tập 1 & Tập 2 Chân Trời Sáng Tạo theo chương trình mới của Giaibaitapsgk các em học sinh có thể hoàn thành tốt chương trình học. Dựa vào việc nắm chắc công thức và rèn luyện những dạng toán đặc trưng: giải Toán 8 Phân thức đại số, tính chất cở bản của phân thức đại số, phép cộng và phép trừ phân thức đại số....
Giải bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ sách toán 8 tập 1 chân trời sáng tạo. Phần đáp án chuẩn, hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài tập có trong chương trình học của sách giáo khoa. Hi vọng, các em học sinh hiểu và nắm vững kiến thức bài
1. Bình phương của một tổng, một hiệu
Thực hành 1 trang 19 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Viết các biểu thức sau thành đa thức
a) $(3x+1)^{2}$
b) $(4x+5y)^{2}$
c) $(5x-\frac{1}{2})^{2}$
d) $(-x+2y^{2})^{2}$
a) $(3x+1)^{2}=(3x)^{2}+2 \times 3x \times 1 +1^{2}=9x^{2}+6x+1$
b) $(4x+5y)^{2}=(4x)^{2}+2\times 4x \times 5y+(5y)^{2}=16x^{2}+40xy+25y^{2}$
c) $(5x-\frac{1}{2})^{2}=(5x)^{2}-2\times 5x \times \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2}=25x^{2}-5x+\frac{1}{4}$
d) $(-x+2y^{2})^{2}=x^{2}-2\times x \times 2y^{2} +(2y^{2})^{2}=x^{2}-4xy^{2}+4y^{4}$
Thực hành 2 trang 19 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu
a) $a^{2}+10ab+25b^{2}$
b) $1+9a^{2}-6a$
a) $a^{2}+10ab+25b^{2}=a^{2}+2 \times a \times 5b +(5b)^{2}=(a+5b)^{2}$
b) $1+9a^{2}-6a=1^{2}-2\times 1\times 3a+(3a)^{2}=(1-3a)^{2}$
Thực hành 3 trang 19 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Tính nhanh
a) $52^{2}$
b) $98^{2}$
a) $52^{2}=(50+2)^{2}=50^{2}+2\times 50\times 2+2^{2}=2500+200+4=2704$
b) $98^{2}=(100-2)^{2}=100^{2}-2 \times 100\times 2+2^{2}=10000-400+4=9604$
Vận dụng 1 trang 19 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
a) Một mảnh vườn hình vuông có cạnh 10 m được mở rộng cả hai cạnh thêm x (m) như Hình 2a. Viết biểu thức (dạng đa thức thu gọn) biểu thị diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng.
b) Một mảnh vườn hình vuông sau khi mở rộng mỗi cạnh 5 m thì được một mảnh vườn hình vuông với cạnh là x (m) như Hình 2b. Viết biểu thức (dạng đa thức thu gọn) biểu thị diện tích mảnh vườn trước khi mở rộng.
a) Biểu thức biểu thị diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng: $(x+10)^{2}=x^{2}+20x+100$
b) Biểu thức biểu thị diện tích mảnh vườn trước khi mở rộng: $(x-5)^{2}=x^{2}-10x+25$
2. Hiệu của hai bình phương
Thực hành 4 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) (4 - x)(4 + x)
b) (2y + 7z)(2y - 7z)
c) $(x+2y^{2})(x-2y^{2})$
a) $(4 - x)(4 + x)=4^{2}-x^{2}=16-x^{2}$
b) $(2y + 7z)(2y - 7z)=(2y)^{2}-(7z)^{2}=4y^{2}-49z^{2}$
c) $(x+2y^{2})(x-2y^{2})=x^{2}-(2y^{2})^{2}=x^{2}-4y^{4}$
Thực hành 5 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Tính nhanh
a) 82 x 78
b) 87 x 93
c) $125^{2}-25^{2}$
a) 82 x 78 = $(80+2)(80-2)=80^{2}-2^{2}=6400-4=6396$
b) 87 x 93 = $(90-3)(90+3)=90^{2}-3^{2}=8100-9=8091$
c) $125^{2}-25^{2}=(125-25)(125+25)=$100 x 150 = 15000
Vận dụng 2 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Giải đáp câu hỏi ở trang 18
$65^{2}-35^{2}=(65-35)(65+35)$= 30 x 100 = 3000
102 x 98 = $(100+2)(100-2)=100^{2}-2^{2}=10000-4=9996$
3. Lập phương của một tổng, một hiệu
Thực hành 6 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) $(x+2y)^{3}$
b) $(3y-1)^{3}$
a) $(x+2y)^{3}=x^{3}+3\times x^{2}\times 2y+3\times x\times (2y)^{2}+(2y)^{3}=x^{3}+6x^{2}y+12xy^{2}+8y^{3}$
b) $(3y-1)^{3}=(3y)^{3}-3\times (3y)^{2}\times 1+3\times 3y\times 1^{2}-1=27y^{3}-27y^{2}+9y-1$
Vận dụng 3 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Một thùng chứa dạng hình lập phương có độ dài cạnh bằng x (cm). Phần vỏ bao gồm nắp có độ dày 3 cm. Tính dung tích (sức chứa) của thùng, viết kết quả dưới dạng đa thức.
Phần lòng trong của thùng chứa có dạnh hình lập phương với độ dài cạnh là x – 3 – 3 = x – 6 (cm).
Thể tích phần lòng trong của thùng là:
$(x – 6)^{3} = x^{3} – 3.x^{2}.6 + 3.x.6^{2} – 6^{3}$
$= x^{3} – 18x^{2} + 108x – 216 (cm^{3})$.
Vậy dung tích (sức chứa) của thùng là $x^{3} – 18x^{2} + 108x – 216 (cm^{3})$.
4. Tổng và hiệu của hai lập phương
Thực hành 7 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Viết các đa thức sau dưới dạng tích
a) $8y^{3}+1$
b) $y^{3}-8$
a) $8y^{3}+1=(2y)^{3}+1^{3}=(2y+1)[(2y)^{2}-2y+1^{2}]=(2y+1)(4y^{2}-2y+1)$
b) $y^{3}-8=y^{3}-2^{3}=(y-2)(y^{2}+2y+2^{2})=(y-2)(y^{2}+2y+4)$
Thực hành 8 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Tính
a) $(x+1)(x^{2}-x+1)$
b) $(2x-\frac{1}{2})(4x^{2}+x+\frac{1}{4})$
a) $(x+1)(x^{2}-x+1)=(x+1)(x^{2}-x+1^{2})=x^{3}+1$
b) $(2x-\frac{1}{2})(4x^{2}+x+\frac{1}{4})=(2x-\frac{1}{2})[(2x)^{2}+x+(\frac{1}{2})^{2}]=(2x)^{3}-(\frac{1}{2})^{3}=8x^{3}-\frac{1}{8}$
Vận dụng 4 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Từ một khối lập phương có cạnh bằng 2x + 1, ta cắt bỏ một khối lập phương có cạnh bằng x + 1 (xem Hình 5). Tính thể tích phần còn lại, viết kết quả dưới dạng đa thức.
Thể tích phần còn lại:
$(2x+1)^{3}-(x+1)^{3}=[2x+1-(x+1)][(2x+1)^{2}+(2x+1)(x+1)+(x+1)^{2}]$
$=(2x+1-x-1)(4x^{2}+4x+1+2x^{2}+2x+x+1+x^{2}+2x+1)$
$=x(7x^{2}+9x+3)=7x^{3}+9x^{2}+3x$
Bài tập
Bài tập 1 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) $(3x+4)^{2}$
b) $(5x-y)^{2}$
c) $(xy-\frac{1}{2}y)^{2}$
a) $(3x+4)^{2}=9x^{2}+24x+16$
b) $(5x-y)^{2}=25x^{2}-10xy+y^{2}$
c) $(xy-\frac{1}{2}y)^{2}=x^{2}y^{2}-xy^{2}+\frac{1}{4}y^{2}$
Bài tập 2 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu
a) $x^{2}+2x+1$
b) $9-24x+16x^{2}$
c) $4x^{2}+\frac{1}{4}+2x$
a) $x^{2}+2x+1=x^{2}+2x+1^{2}=(x+1)^{2}$
b) $9-24x+16x^{2}=3^{2}-24x+(4x)^{2}=(3-4x)^{2}$
c) $4x^{2}+\frac{1}{4}+2x=(2x)^{2}+2x+(\frac{1}{2})^{2}=(2x+\frac{1}{2})^{2}$
Bài tập 3 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) (3x - 5)(3x + 5)
b) (x - 2y)(x + 2y)
c) $(-x-\frac{1}{2}y)(-x+\frac{1}{2}y)$
a) $(3x - 5)(3x + 5)=(3x)^{2}-5^{2}=9x^{2}-25$
b) $(x - 2y)(x + 2y)=x^{2}-(2y)^{2}=x^{2}-4y^{2}$
c) $(-x-\frac{1}{2}y)(-x+\frac{1}{2}y)=(-x)^{2}-(\frac{1}{2}y)^{2}=x^{2}-\frac{1}{4}y^{2}$
Bài tập 4 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
a) Viết biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng 2x + 3 dưới dạng đa thức
b) Viết biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 3x - 2 dưới dạng đa thức
a) $(2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9$
b) $(3x-2)^{3}=27x^{3}-54x^{2}+36x-8$
Bài tập 5 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Tính nhanh
a) $38 \times 42$
b) $102^{2}$
c) $198^{2}$
d) $75^{2}-25^{2}$
a) $38 \times 42 = (40-2)(40+2)=40^{2}-2^{2}=1600-4=1596$
b) $102^{2}=(100+2)^{2}=100^{2}+2\times 100 \times 2 +2^{2}=10000+400+4=10404$
c) $198^{2}=(200-2)^{2}=200^{2}- 2 \times 200 \times 2+2^{2}=40000-800+4=39204$
d) $75^{2}-25^{2}=(75-25)(75+25)=50\times 100=5000$
Bài tập 6 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) $(2x-3)^{3}$
b) $(a+3b)^{3}$
c) $(xy-1)^{3}$
a) $(2x-3)^{3}=(2x)^{3}-3 \times (2x)^{2}\times 3 +3 \times 2x\times 3^{2}-3^{3}=8x^{3}-36x^{2}+54x-27$
b) $(a+3b)^{3}=a^{3}+3\times a^{2}\times (3b)+3\times a\times (3b)^{2}+(3b)^{3}=a^{3}+9a^{2}b+27ab^{2}+27b^{3}$
c) $(xy-1)^{3}=(xy)^{3}-3\times (xy)^{2}\times 1+3\times xy\times 1^{2}-1^{3}=x^{3}y^{3}-3x^{2}y^{2}+3xy-1$
Bài tập 7 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Viết các biểu thức sau thành đa thức
a) $(a-5)(a^{2}+5a+25)$
b) $(x+2y)(x^{2}-2xy+4y^{2})$
a) $(a-5)(a^{2}+5a+25)=(a-5)(a^{2}+5a+5^{2})=a^{3}-5^{3}$
b) $(x+2y)(x^{2}-2xy+4y^{2})=(x+2y)(x^{2}-2xy+(2y)^{2})=x^{3}+(2y)^{3}=x^{3}+8y^{3}$
Bài tập 8 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) $(a-1)(a+1)(a^{2}+1)$
b) $(xy+1)^{2}-(xy-1)^{2}$
a) $(a-1)(a+1)(a^{2}+1)=(a^{2}-1)(a^{2}+1)=(a^{2})^{2}-1=a^{4}-1$
b) $(xy+1)^{2}-(xy-1)^{2}=(xy+1-xy+1)(xy+1+xy-1)=2(2xy)=4xy$
Bài tập 9 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
a) Cho x + y = 12 và xy = 35. Tính $(x-y)^{2}$
b) Cho x - y = 8 và xy = 20. Tính $(x+y)^{2}$
c) Cho x + y = 5 và xy = 6. Tính $x^{3}+y^{3}$
d) Cho x - y = 3 và xy = 40. Tính $x^{3}-y^{3}$
a) $(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}=(x^{2}+2xy+y^{2})-4xy=(x+y)^{2}-4xy=12^{2}-4\times 35=4$
b) $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=(x^{2}-2xy+y^{2})+4xy=(x-y)^{2}+4xy=8^{2}+4 \times 20=144$
c) $x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=(x+y)[(x^{2}+2xy+y^{2})-3xy]=(x+y)[(x+y)^{2}-3xy]=5(5^{2}-3 \times 6)=35$
d) $x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=(x-y)[(x^{2}-2xy+y^{2})+3xy]=(x-y)[(x-y)^{2}+3xy]=3(3^{2}+3 \times 40)=387$
Bài tập 10 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Cho hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều bằng 5 cm. Thể tích của hình hộp chữ nhật sẽ tăng bao nhiêu nếu:
a) Chiều dài và chiều rộng tăng thêm a cm?
b) Chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều tăng thêm a cm?
Thể tích hình hộp chữ nhật ban đầu là: $5^{3}=125(cm^{3})$
a) Thể tích hình hộp chữ nhật khi chiều dài và chiều rộng tăng thêm a cm là: $5(5+a)^{2}=5(25+10a+a^{2})=125+50a+5a^{2}(cm^{3})$
Khi đó thể tích hình chữ nhật sẽ tăng thêm $125+50a+5a^{2}-125=50+5a^{2}(cm^{3})$
b) Thể tích hình hộp chữ nhật khi chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều tăng thêm a cm là: $(5+a)^{3}=125+75a+15a^{2}+a^{3}(cm^{3})$
Khi đó thể tích hình chữ nhật sẽ tăng thêm $125+75a+15a^{2}+a^{3}-125=75a+15a^{2}+a^{3}(cm^{3})$
Khởi động trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Hãy tính nhanh:
65$^{2}$ – 35$^{2}$ = ?
102 . 98 = ?
Bạn nữ: “Đáp số là 3 000 và 9 996”.
Bạn nam: “Trời! Bạn làm thế nào mà nhanh vậy?”
Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
65$^{2}$ – 35$^{2}$ = (65 + 35) . (65 – 35) = 100 . 30 = 3 000.
102 . 98 = (100 + 2) . (100 – 2) = 100$^{2}$ – 2$^{2}$ = 10 000 – 4 = 9 996.
Khám phá 1 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
a) Ba bạn An, Mai và Bình viết biểu thức biểu thị tổng diện tích S của các phần tô màu trong Hình 1 như sau:
An: S = (a + b)$^{2}$.
Mai: S = a$^{2}$ + b$^{2}$ + ab + ba.
Bình: S = a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$.
Kết quả của mỗi bạn có đúng không? Giải thích.
b) Thực hiện phép nhân và rút gọn đa thức của bạn An.
c) Bằng cách làm tương tự ở câu b), có thể biến đổi biểu thức (a − b)$^{2}$ thành biểu thức nào?
a) Ta xét các cách tính diện tích của các phần tô màu trong Hình 1 như sau:
Cách 1: Tính diện tích của hình vuông được ghép bởi 4 hình:
Cạnh của hình vuông ABCD được tạo thành là: a + b.
Diện tích S của các phần tô màu chính là diện tích của hình vuông ABCD, và bằng:
S = (a + b)$^{2}$ .
b) Ta có: S = (a + b)$^{2}$
= (a + b).(a + b)
= a.(a + b) + b.(a + b)
= a.a + a.b + b.a + b.b
= a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$.
c) Ta có: (a – b)$^{2}$
= (a – b).(a – b)
= a.(a – b) – b.(a – b)
= a.a – a.b – b.a + b.b
= a$^{2}$ – 2ab + b$^{2}$.
Khám phá 2 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
a) Từ Hình 3a, người ta cắt ghép tạo thành Hình 3b. Viết hai biểu thức khác nhau, mỗi biểu thức biểu thị diện tích (phần tô màu) của một trong hai hình bên.
b) Thực hiện phép nhân và rút gọn đa thức, biến đổi biểu thức (a + b)(a – b) thành một đa thức thu gọn. Từ đó, có kết luận gì về diện tích của hai hình bên?
a) Ta đặt tên các điểm trên Hình 3 như hình vẽ dưới đây.
• Diện tích hình vuông ABCD là: a$^{2}$.
Diện tích hình vuông EGHD là: b$^{2}$.
Diện tích phần tô màu ở Hình 3a là: a$^{2}$ – b$^{2}$.
• Chiều dài của hình chữ nhật trong Hình 3b là: a + b.
Chiều rộng của hình chữ nhật trong Hình 3b là: a – b.
Diện tích hình chữ nhật (phần tô màu) trong Hình 3b là: (a + b)(a – b).
b) Ta có:
(a + b)(a – b) = a.(a – b) + b.(a – b) = a.a – ab + ba – b.b = a$^{2}$ – b$^{2}$.
Vậy diện tích của hai hình trong Hình 3a và Hình 3b trùng nhau.
Khám phá 3 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Hoàn thành các phép nhân đa thức sau vào vở, thu gọn kết quả nhận được:
(a + b)$^{3}$ = (a + b)(a + b)$^{2}$
= (a + b)(…)
= …
(a – b)$^{3}$ = (a – b)(a – b)$^{2}$
= (a – b)(…)
= …
(a + b)$^{3}$ = (a + b)(a + b)$^{2}$
= (a + b)(a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$)
= a(a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$) + b(a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$)
= a.a$^{2}$ + a.2ab + a.b$^{2}$ + b.a$^{2}$ + b.2ab + b.b$^{2}$
= a$^{3}$ + 2a$^{2}$b + ab$^{2}$ + a$^{2}$b + 2ab$^{2}$ + b$^{3}$
= a$^{3}$ + (2a$^{2}$b + a$^{2}$b) + (ab$^{2}$ + 2ab$^{2}$) + b$^{3}$
= a$^{3}$ + 3a$^{2}$b + 3ab$^{2}$ + b$^{3}$.
(a – b)$^{3}$ = (a – b)(a – b)$^{2}$
= (a – b)(a$^{2}$ – 2ab + b$^{2}$)
= a(a$^{2}$ – 2ab + b$^{2}$) – b(a$^{2}$ – 2ab + b$^{2}$)
= a.a$^{2}$ – a.2ab + a.b$^{2}$ – b.a$^{2}$ + b.2ab – b.b$^{2}$
= a$^{3}$ – 2a$^{2}$b + ab$^{2}$ – a$^{2}$b + 2ab$^{2}$ – b$^{3}$
= a$^{3}$ – (2a$^{2}$b + a$^{2}$b) + (ab$^{2}$ + 2ab$^{2}$) – b$^{3}$
= a$^{3}$ – 3a$^{2}$b + 3ab$^{2}$ – b$^{3}$.
Khám phá 4 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Sử dụng quy tắc chuyển vế và các tính chất của phép toán, hoàn thành các biến đổi sau vào vở:
(a + b)$^{3}$ = a$^{3}$ + 3a$^{2}$b + 3ab$^{2}$ + b$^{3}$
a$^{3}$ + b$^{3}$ = (a + b)$^{3}$ – 3a$^{2}$b – 3ab$^{2}$
= (a + b)$^{3}$ – 3ab(a + b)
= (a + b)(…)
= …
(a – b)$^{3}$ = a$^{3}$ – 3a$^{2}$b + 3ab$^{2}$ – b$^{3}$
a$^{3}$ – b$^{3}$ = (a – b)$^{3}$ + 3a$^{2}$b – 3ab$^{2}$
= (a – b)$^{3}$ + 3ab(a – b)
= (a – b)(…)
= …
(a + b)$^{3}$ = a$^{3}$ + 3a$^{2}$b + 3ab$^{2}$ + b$^{3}$
a$^{3}$ + b$^{3}$ = (a + b)$^{3}$ – 3a$^{2}$b – 3ab$^{2}$
= (a + b)$^{3}$ – 3ab(a + b)
= (a + b)[(a + b)$^{2}$ – 3ab]
= (a + b)(a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$ – 3ab)
= (a + b)(a$^{2}$ – ab + b$^{2}$).
(a – b)$^{3}$ = a$^{3}$ – 3a$^{2}$b + 3ab$^{2}$ – b$^{3}$
a$^{3}$ – b$^{3}$ = (a – b)$^{3}$ + 3a$^{2}$b – 3ab$^{2}$
= (a – b)$^{3}$ + 3ab(a – b)
= (a – b)[(a – b)$^{2}$ + 3ab]
= (a – b)(a$^{2}$ – 2ab + b$^{2}$ + 3ab)
= (a – b)(a$^{2}$ + ab + b$^{2}$).
Nội dung mở rộng của hướng dẫn giải Toán lớp 8 Chân Trời Sáng Tạo chương trình mới với nhiều dạng Toán lớp 8 nâng cao kì 2, kì 1. Đây chắc chắn là bộ tài liệu quý giúp các em học sinh giành điểm 10 trọn vẹn.
Hướng dẫn giải toán bài tập Toán 8 chương trình mới sách Chân Trời Sáng Tạo sẽ giúp các em học sinh nắm chắc kiến thức trọng tâm, các vị phụ huynh dễ dàng nắm bắt nội dung học và hướng dẫn con làm bài tập. Đừng quên tham khảo thêm nhiều đề thi Toán lớp 8 học kì 1, học kì 2 và bộ câu hỏi trắc nghiệm Toán lớp 8 hữu ích khác được Giaibaitapsgk tổng hợp. Chúc các em học tốt!