Giải câu 41 bài: Ôn tập chương 3 sgk Toán đại 9 tập 2 Trang 27

Hướng dẫn giải bài tập trong SGK Toán lớp 9 tập 1: Ôn tập kiến thức cơ bản trong SGK Toán 9 Tập 1 tạo cơ sở cho việc vận dụng giải bài tập Toán 9 tập 1.

01 Đề bài:

Câu 41 : trang 27 sgk toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau :

a. $\left\{\begin{matrix}x\sqrt{5}-(1+\sqrt{3})y=1 & \\ (1-\sqrt{3})x+y\sqrt{5}=1 & \end{matrix}\right.$

b. $\left\{\begin{matrix}\frac{2x}{x+1}+\frac{y}{y+1}=\sqrt{2} & \\ \frac{x}{x+1}+\frac{3y}{y+1}=-1 & \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn câu b : Đặt ẩn phụ

02 Bài giải:

a. $\left\{\begin{matrix}x\sqrt{5}-(1+\sqrt{3})y=1 & \\ (1-\sqrt{3})x+y\sqrt{5}=1 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x =\frac{1+(1+\sqrt{3})y}{\sqrt{5}} & \\ (1-\sqrt{3})x+y\sqrt{5}=1 & \end{matrix}\right.$

Áp dụng quy tắc thế ta được :

$\left\{\begin{matrix}x =\frac{1+(1+\sqrt{3})y}{\sqrt{5}} (1) & \\ (1-\sqrt{3})\frac{1+(1+\sqrt{3})y}{\sqrt{5}}+y\sqrt{5}=1 (2) & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình (2) ta có :

$(1-\sqrt{3})\frac{1+(1+\sqrt{3})y}{\sqrt{5}}+y\sqrt{5}=1$

$\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{3}+(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})y}{\sqrt{5}}+\frac{5y}{\sqrt{5}}=1$

$\Leftrightarrow 1-\sqrt{3}+(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})y+5y=\sqrt{5}$

$\Leftrightarrow (1-3)y+5y=\sqrt{5}-1+\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow 3y=\sqrt{5}-1+\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow y=\frac{\sqrt{5}-1+\sqrt{3}}{3}$

Thay y vào phương trình (1) ta được:

$x =\frac{1+(1+\sqrt{3})y}{\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow x =\frac{1+(1+\sqrt{3})\frac{\sqrt{5}-1+\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow x =\frac{3+(1+\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}-1)}{3\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow x =\frac{3+\sqrt{5}+\sqrt{3}-1+\sqrt{15}+3-\sqrt{3}}{3\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow x =\frac{5+\sqrt{5}+\sqrt{15}}{3\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow x =\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{3}+1}{3\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+1}{3}$

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là $x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+1}{3};y=\frac{\sqrt{5}-1+\sqrt{3}}{3}$

b. $\left\{\begin{matrix}\frac{2x}{x+1}+\frac{y}{y+1}=\sqrt{2} & \\ \frac{x}{x+1}+\frac{3y}{y+1}=-1 & \end{matrix}\right.$

Đặt $\frac{x}{x+1}=u;\frac{y}{y+1}=v$

Ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình ban đầu là:

$\left\{\begin{matrix}2u+v=\sqrt{2} & \\ u+3v=-1 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\sqrt{2}-2u & \\ u+3v=-1 & \end{matrix}\right.$

Áp dụng quy tắc thế ta được:

$\left\{\begin{matrix} v=\sqrt{2}-2u & \\ u+3(\sqrt{2}-2u)=-1 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\sqrt{2}-2u & \\ u+3\sqrt{2}-6u=-1 & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} v=\sqrt{2}-2u & \\ -5u=-1-3\sqrt{2} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\sqrt{2}-2u & \\ u=\frac{1+3\sqrt{2}}{5} & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\sqrt{2}-2\frac{1+3\sqrt{2}}{5} & \\ u=\frac{1+3\sqrt{2}}{5} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{5\sqrt{2}-2-6\sqrt{2}}{5} & \\ u=\frac{1+3\sqrt{2}}{5} & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=\frac{-\sqrt{2}-2}{5} & \\ u=\frac{1+3\sqrt{2}}{5} & \end{matrix}\right.$

Ta có: $\frac{x}{x+1}=u\Leftrightarrow \frac{x}{x+1}=\frac{1+3\sqrt{2}}{5}$

$\Leftrightarrow 5x=(x+1)(1+3\sqrt{2})\Leftrightarrow 5x=x+3x\sqrt{2}+1+3\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow x+3x\sqrt{2}-5x+1+3\sqrt{2}=0\Leftrightarrow x(3\sqrt{2}-4)=-1-3\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow x=\frac{-1-3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-4}\Leftrightarrow x=\frac{1+3\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}}$

Ta có: $\frac{y}{y+1}=v\Leftrightarrow \frac{y}{y+1}=\frac{-\sqrt{2}-2}{5}$

$\Leftrightarrow 5y=(y+1)(-\sqrt{2}-2) \Leftrightarrow -y\sqrt{2}-2y-\sqrt{2}-2-5y=0$

$\Leftrightarrow y(-\sqrt{2}-7)=\sqrt{2}+2\Leftrightarrow y=\frac{-\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}+7}$

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là $x=\frac{1+3\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}}; y=\frac{-\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}+7}$

Cung cấp đáp án chi tiết lời giải được biên soạn nhằm mục đich tham khảo phương pháp làm bài. Tài liệu cũng giúp các bạn ôn tập nhằm mục đích tham khảo phương pháp làm bài.

Đáp án bài tập Toán lớp 9 tập 1 & tập 2 đầy đủ và chi tiết nhất chắc chắn sẽ là nguồn tài liệu tin cậy giúp các em tham khảo học tốt bộ môn Toán 9.