Chuyên đề hình học không gian Oxyz

20 chuyên đề Toán lớp 12 được Trang tài liệu liệt kê qua từng dạng bài tập giúp bồi dưỡng các em học sinh giỏi Toán lớp 12. Mời các bạn tham khảo

TÓM TẮT LÍ THUYẾT

 Trong không gian Oxyz cho $A(x_{A}, y_{A}, z_{A})$, $B(x_{B}, y_{B}, z_{B})$, $C(x_{C}, y_{C}, z_{C}$, $D(x_{D}, y_{D}, z_{D})$ và $\overrightarrow{a}=(a_{1}, a_{2}, a_{3}), \overrightarrow{b}=(b_{1}, b_{2}, b_{3})$ thì 

1. Phép cộng trừ vecto, tích vô hướng của hai vecto (giống như trong mặt phẳng Oxy).

• $\overrightarrow{a} \pm \overrightarrow{b}=(a_{1} \pm b_{1}, a_{2} \pm b_{2}, a_{3} \pm b_{3}).$
• $k \overrightarrow{a}=(k.a_{1}, k.a_{2}, k. a_{3}).$
• $\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}+a_{3}.b_{3}$.
• $\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}$  $\Rightarrow  \overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}=0 \Leftrightarrow \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$

• $\overrightarrow{AB}=(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A}, z_{B}-z_{A})$

2. Module của một vecto (độ dài vecto)

• $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$.
• $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}$.

3. Tích có hướng của hai vecto là một vecto

$[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=(\begin{vmatrix} a_{2} &a_{3} \\ b_{2}& b_{3} \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_{3} &a_{1} \\b_{3} &b_{1}  \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\b_{1}  & b_{2} \end{vmatrix})$

Chú ý:

• $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}] \perp \overrightarrow{a}, [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}] \perp \overrightarrow{b}.$
• $|[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]|=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.\sin (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) $.
• $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương khi $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}] = \overrightarrow{0}$.
• $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ đồng phẳng khi $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]. \overrightarrow{c}=0$.

Cách bấm máy để tính tích có hướng của hai vecto

• Bước 1: Nhấn mode 8, chọn 1.
• Bước 2: Nhập $x_{A}, y_{A}, z_{A}$ của vecto $\overrightarrow{a}$.
• Bước 3: Nhấn Shift 5, nhấn chọn 1. Ta nhấn số 2, nhấn số 1 rồi nhập dữ liệu cho vecto $\overrightarrow{b}$.
• Bước 4: Nhấn AC, nhấn shift 5, nhấn 3 để chọn vecto $\overrightarrow{a}$. Tiếp tục nhấn Shift 5, nhấn 4 để chọn vecto $\overrightarrow{b}$.

Ứng dụng 

•  Tính diện tích hình bình hành ABCD: $S_{ABCD}=|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]|$.
• Tính diện tích tam giác ABC: $S_{ABC}=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]|$.
• Thể tích hình hộp ABCDA'B'C'D': $V=|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}]. \overrightarrow{AA'}|$.
• Tính thể tích hình tứ diện ABCD: $V=\frac{1}{6} |[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]. \overrightarrow{AD}|$.
• Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng $|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]=\overrightarrow{0}$.
• Chứng minh 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng: $[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]. \overrightarrow{AD}=0$

4. Tọa độ trung điểm, trọng tâm.

• I là trung điểm của AB khi đó $\left\{\begin{matrix} x_{I}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}\\ y_{I}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\ z_{I}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2} \end{matrix}\right.$
• G là trọng tâm của tam giác ABC khi đó $\left\{\begin{matrix} x_{G}=\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}\\ y_{G}=\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3} \\ z_{G}=\frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3} \end{matrix}\right.$
• G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi đó $\left\{\begin{matrix} x_{G}=\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}+x_{D}}{4}\\ y_{G}=\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}+y_{D}}{4} \\ z_{G}=\frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}+z_{D}}{4} \end{matrix}\right.$

Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm nhiều dạng bài tập của nhiều chuyên đề khác nhau được Trang tài liệu liệt kê dưới đây nhé!

Ngoài 20 chuyên đề bồi dưỡng Toán 122. Các bạn học sinh còn có thể tham khảo thêm giải bài tập Toán lớp 12, giải vở bài tập Toán 12, soạn bài 12 hoặc đề thi lớp 12 học kì 1 và kì 2. Mong rằng với những gợi ý dưới đây của Trang tài liệu có thể giúp các em rèn luyện tốt khả năng làm và luyện đề