Giải toán 11 kết nối Bài tập ôn tập cuối năm

C. $sin(\frac{ \pi}{2} + a) = cos \alpha$

B. Hàm số $y = cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$

B. $25^{n}$

D. $\frac{n}{n+1}$

B. $\lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{1}{x} = -\infty$

D. $y =|x|$

C. $\frac{21}{4}$

C. c > a > b

Xét hàm số $y=b^{x}$ : Dựa vào hình dáng đồ thị ta thấy $\lim_{x\rightarrow +\infty} b^{x}=0$, do đó 0<b<1. Xét hàm số $y=a^{x}$: Dựa vào hình dáng đồ thị ta thấy $\lim_{x\rightarrow +\infty} b^{x}=+\infty$, do đó a > 1. Từ đó suy ra: a > b. Loại đáp án A, D. Xét tại x = 1 đồ thị hàm số $ y= a^{x}$ có tung độ lớn hơn tung độ của đồ thị hàm số $ y= a^{x}$ nên c> a. Vậy c > a > b

A. 4

$f''(x) = (2\sin x \cos x)' + (e^{2x})' + (2xe^{2x})'$

$f''(x) = (2\cos^2x - 2\sin^2x) + 2e^{2x} + (4xe^{2x} + 2e^{2x})$

$f''(x) = 2\cos(2x) + 2e^{2x} + 6xe^{2x}$

ta thay $x = 0$ vào biểu thức $f''(x)$:

$f''(0) = 2\cos(0) + 2e^{0} + 6(0)e^{0} = 2 + 2 = 4$

D. y = -18x + 49 

D. $\frac{a\sqrt{11}}{11}$

C. $4a^{3}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{24}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{6}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. [15;20)

Tổng số công nhân:

7 + 18 + 35 + 57 + 28 = 145

Trung vị là phần tử ở giữa sau khi sắp xếp tập dữ liệu theo thứ tự tăng dần. Ta phải tính ra chỉ số của phần tử giữa trong tập dữ liệu:

$\frac{(145+1)}{2}=73$

Vì 73 nằm trong khoảng [57, 85) (tính từ phần tử đầu tiên của mỗi nhóm), nên nhóm chứa trung vị sẽ là [15;20).

C. [15;20)

Chỉ số phần tử đầu tiên là 42. Số lượng công nhân là 57. Vị trí của phần tử thứ mốt là \frac{(145+1)}{2}-42+1=38$ nằm trong khoảng [35, 92), nên đây chính là nhóm chứa mốt.

 A. 0,04. 

Mỗi vận động viên được bắn hai lần và hai lần bắn là độc lập. Xác suất để cả hai lần bắn đều trúng vòng 10 là 0.2×0.2=0.04.

 A. 0,04. 

Mỗi vận động viên được bắn hai lần và hai lần bắn là độc lập. Xác suất để cả hai lần bắn đều trúng vòng 10 là 0.2×0.2=0.04.

B. $\frac{25}{36}$

Số khả năng để số chấm trên cả hai con xúc xắc lớn hơn 1 là $5 \times 5 = 25$.

Tổng số khả năng trên hai con xúc xắc là $6 \times 6 = 36$.

Vậy, xác suất để số chấm trên cả hai con xúc xắc lớn hơn 1 là $\frac{25}{36}$.

C. 0,92

P(A) là xác suất An giành giải thưởng là 0.8
P(B) là xác suất Bình giành giải thưởng là 0.6
P(A và B) là xác suất cả hai bạn An và Bình cùng giành giải thưởng.

P(A và B) = P(A) x P(B) = 0.8 x 0.6 = 0.48

Áp dụng vào công thức ta có:

P(A hoặc B) = 0.8 + 0.6 - 0.48 = 0.92

Vậy đáp án là C. 0,92.

a) $A=\frac{1-2sin^{2}x}{1+sin^{2}2x} - \frac{1-tan x}{1+tan x}$

$= \frac{1-2sin^{2}x}{cos^{2}2x+sin^{2}2x.sin^{2}x} - \frac{cosx-sinx}{cosx+sinx}$

$=\frac{(cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x)(1-2sin^2 x)}{(cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x)}-\frac{(cosx-sinx)^2}{(cosx+sinx)(cosx-sinx)}$

$=\frac{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x - 2sin^2 x - cos^2 x - sin^2 x + 2cosx sinx}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x}$

$= \frac{cos^2 2x - cos^2 x + 2sin^2 x - sin^2 x + 2cosx sinx}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x}$ 

$= \frac{cos^2 x (2cos^2 x - cos^2 2x + 2sin^2 x) + sin^2 x (2cosx sinx)}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x} $

$= \frac{cos^2 x (2 - 2sin^2 x) + sin^2 x (sin2x)}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x} $

$= \frac{2cos^2 x - 2cos^2 x sin^2 x + sin^2 x sin2x}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x} = \frac{2cos^2 x (1-sin^2 x) + sin^2 x sin2x}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x} $

$= \frac{2cos^2 x cos^2 x + sin^2 x sin2x}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x} $

$= \frac{cos^2 x(2cos^2 x + sin^2 2x)}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x} $

$= \frac{cos^2 x}{1+sin^2 2x}$

b) 

$B = \frac{sin 4x}{1+cos 4x}.\frac{cos2x}{1+cos2x}- cot(\frac{3 \pi}{2} - x)$

$= \frac{2sin2x cos2x}{2cos^2 2x}.\frac{cos2x}{1+cos2x} + tanx $

$= \frac{sin 2x}{cos^2 2x}. \frac{cos2x}{1+cos2x} + tanx $

$= \frac{2sinx cosx}{(1+cos2x)(1-cos2x)}.\frac{1+cos2x}{2} + tanx $

$= \frac{sinx}{cos^2 x} + tanx$

$= \frac{sin^2 x}{sin x cos^2 x} + \frac{sinx}{cosx}$

$= \frac{1}{cos^2 x} + \frac{sinx}{cosx} $

$= sec^2 x + tanx$

c)

$C= 2( cos^{4}x - sin^{4}x)sin2x$

$= 2cos^{4}xsin2x - 2sin^{4}x.sin2x$

$= 2cos^{4}xsin2x - 2sin^{2}x(1-cos^{2}x)sin2x$

$=2cos^{2}x(cos^{2}x-sin^{2}x)sin2x$

$=2cos^{2}x.cos2x.sin2x$

$=4cos^{2}x.cos2xsinx$

a) Ta có 

$cos[\frac{ \pi}{3}(2t-1)] = \pm 1 \Leftrightarrow sin[\frac{ \pi}{3} (2t -1)]=0$

$\Leftrightarrow  \frac{\pi}{3}(2t-1) =k \pi \Leftrightarrow t=\frac{1}{2}(3k+1)$

Ta cần tìm k nguyên để $0 ≤ t ≤ 2$

$0 \leq t\leq 2 \Leftrightarrow 0 \frac{1}{2} (3k+1)\leq 2$

$\Leftrightarrow -\frac{1}{3}\leq k\leq 1\Leftrightarrow k \in \left \{ 0;1 \right \}$

Với $k =0$ thì $t =\frac{1}{2}$. Với $k=1$ thì $t=2$.Vậy trong 2 giây đầu tiên, người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất vào các thời điểm $\frac{1}{2}$ giây và 2 giây.

b) 

$3cos [\frac{\pi}{3}(2t-1)]=\pm 2$

$\Leftrightarrow cos^{2}[\frac{\pi}{3}(2t-1)]=\frac{4}{9}$

$\Leftrightarrow 1+cos [\frac{2 \pi}{3}(2t-1)]=\frac{9}{8}$

$\Leftrightarrow  cos [\frac{2 \pi}{3}(2t-1)]=-\frac{1}{9}$

$\Leftrightarrow \frac{2\pi }{3}(2t-1)=\pm \alpha +k2 \pi$

$\Leftrightarrow t =\pm \frac{3\alpha }{4 \pi}+\frac{1}{2}+\frac{3k}{2}$

Ta tìm k nguyên để 0 ≤ t ≤ 2

Với $t = \frac{3\alpha }{4 \pi}+\frac{1}{2}+\frac{3k}{2}$

$\Leftrightarrow -\frac{1}{3}  -\frac{\alpha}{2 \pi} \leq k \leq  1-\frac{\alpha}{2 \pi}$

Với $cos \alpha = -\frac{1}{9}$

$\Leftrightarrow k =0 và t \approx 0,90$

Với $-t = \frac{3\alpha }{4 \pi}+\frac{1}{2}+\frac{3k}{2}$ tương tự 

Trong khoảng 2 giây đầu tiên, có ba thời điểm mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét, đó là $t \approx 0,10$ giây $\approx 0,90$ giây và $t \approx 0,60$ giây.

$U_1 \cdot q^3 - U_1 = U_1 \cdot q^6 - U_1 \cdot q^3$

$U_1 \cdot (q^6 - q^3) = U_1 \cdot (q^3 - 1)$

Với $U_1 \neq 0$, ta có:

$q^6 - q^3 = q^3 - 1$

$q^6 - 2q^3 + 1 = 0$

Đây là một phương trình bậc 2 với biến $q^3$. Đặt $x = q^3$, ta có:

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$

Từ đó, ta suy ra $q^3 = 1$. Vì $q > 0$ (vì công bội không thể âm), nên ta có $q = 1$.

Vậy, công bội $q$ của cấp số nhân đó là 1.

a) 

Đặt n = 2, ta có: $u_2 = 200 + 10(2-1) = 210$ triệu đồng

Đặt n = 3, ta có: $u_3 = 200 + 10(3-1) = 220$ triệu đồng

Đặt n = 5, ta có: $u_5 = 200 + 10(5-1) = 240$ triệu đồng

Tổng số tiền lương người lao động nhận được trong thời gian 5 năm theo hợp đồng A là: $u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 = 200 + 210 + 220 + 230 + 240 = 1,100$ triệu đồng

b)

Đặt n = 2, ta có: $V_2 = 180 \times (1 + 0.05)^{2-1} = 180 \times 1.05 = 189$ triệu đồng

Đặt n = 3, ta có: $V_3 = 180 \times (1 + 0.05)^{3-1} = 180 \times 1.1025 = 198.45$ triệu đồng

Đặt n = 5, ta có: $V_5 = 180 \times (1 + 0.05)^{5-1} = 180 \times 1.2155 = 218.79$ triệu đồng

Tổng số tiền lương người lao động nhận được trong thời gian 5 năm theo hợp đồng B là: $V_1 + V_2 + V_3 + V_4 + V_5 = 180 + 189 + 198.45 + 208.3725 + 218.79 = 994.6125$ triệu đồng

c) Để tìm số năm sau khi lương hằng năm theo hợp đồng B vượt lương hằng năm theo hợp đồng A, ta cần giải phương trình:

$V_n > u_n$

$180 \times (1 + 0.05)^{n-1} > 200 + 10(n-1)$

a) $\frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n^{2}+2n+3} = \frac{n}{n^{2}+2n+3}$

Khi $n \to \infty$, ta có:

$\lim_{n\rightarrow + \infty} \frac{n}{n^{2}+2n+3} = \lim_{n\rightarrow + \infty} \frac{1}{n+2+\frac{3}{n}} = \frac{1}{\infty} = 0$

Vậy, $\lim_{n\rightarrow + \infty} \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n^{2}+2n+3} = 0$.

b) Ta có:

$1+ \frac{2}{3}+ \frac{4}{9}+...+\frac{2^{n}}{3^{n}} = \sum_{k=0}^{n} \frac{2^{k}}{3^{k}}$

Khi $n \to \infty$, ta có:

$\lim_{n\rightarrow + \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{2^{k}}{3^{k}} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^{k}}{3^{k}} = \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{k} = \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$

Vậy, $\lim_{n\rightarrow + \infty} (1+ \frac{2}{3}+ \frac{4}{9}+...+\frac{2^{n}}{3^{n}}) = 3$.

c) $\frac{2x^{2}+3x-2}{x^{2}-4} = \frac{x^{2}(2 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x^{2}})}{x^{2}(1 - \frac{4}{x^{2}})}$

Khi $x \to \infty$, ta có:

$\lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{2x^{2}+3x-2}{x^{2}-4} = \lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{2 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x^{2}}} = \frac{2 + 0 - 0}{1 - 0} = 2$

Vậy, $\lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{2x^{2}+3x-2}{x^{2}-4} = 2$.

d) $\sqrt {4x^{2}+x+1}+2x = \sqrt {x^{2}(4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}})}+2x $

$= \sqrt {x^{2}\left(4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right)}+2x$

Khi $x \to \infty$, ta có:

$\lim_{x\rightarrow + \infty} \sqrt {x^{2}\left(4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right)}+2x$

$= \lim_{x\rightarrow + \infty} x \sqrt {4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}+2x$

$= \infty \times (4 + 0 + 0) + \infty = \infty$

Vậy, $\lim_{x\rightarrow + \infty} ( \sqrt {4x^{2}+x+1}+2x) = \infty$.

a) Để hàm $f(x)$ liên tục tại $x=-1$ ggias trị của hàm số tại $x =-1$ phải bằng giới hạn của hàm số khi x tiến đến -1

$f(-1) = m^{2}$$

$\lim_{x\rightarrow -1}f(x)=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}+4x+3}{x+1}$

$=\lim_{x\rightarrow -1}=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{(x+1)(x+3)}{x+1}=2$

Do đó nếu hàm số $f(x)$ liên tục tại x = -1 ta phải có m^{2} = 2, tức là $m = \pm \sqrt{2}$

b)

Khi $x \leq 1$: $g(x) = 2x + m$

Khi $x > -1$: $g(x) = \frac{x^{3}-x^{2}+2x}{x-1}$

Giới hạn của $g(x)$ khi $x$ tiến đến 1 từ bên trái: $\lim_{x\rightarrow 1^{-}} g(x) = \lim_{x\rightarrow 1^{-}} (2x + m) = 2(1) + m = 2 + m$

Giới hạn của $g(x)$ khi $x$ tiến đến 1 từ bên phải: $\lim_{x\rightarrow 1^{+}} g(x) = \lim_{x\rightarrow 1^{+}} \frac{x^{3}-x^{2}+2x}{x-1}$

$= \lim_{x\rightarrow 1^{+}} \frac{x(x^{2}-x+2)}{x-1} $

$= \lim_{x\rightarrow 1^{+}} \frac{x(x-1)(x-2)}{x-1} = \lim_{x\rightarrow 1^{+}} x(x-2) = 1(1-2) = -1$

Để hàm $g(x)$ liên tục trên R, giới hạn của $g(x)$ khi $x$ tiến đến 1 từ bên trái phải bằng giới hạn của $g(x)$ khi $x$ tiến đến 1 từ bên phải: $2 + m = -1$

Suy ra $m = -3$.

Vậy, giá trị của tham số $m$ là -3 để hàm $g(x)$ liên tục trên R. 

a) $\ln(3^{\frac{1}{x}}) = \ln(4)$ $\frac{1}{x} \ln(3) $

$= \ln(4)$ $\frac{\ln(3)}{x} = \ln(4)$ $x = \frac{\ln(3)}{\ln(4)}$

b)$\ln(2^{x^{2}-3x}) = \ln(4)$ $(x^{2}-3x) \ln(2)$

$= \ln(4)$ $x^{2}-3x = \frac{\ln(4)}{\ln(2)}$ $x^{2}-3x - \frac{\ln(4)}{\ln(2)} = 0$

c) $\log_{4}((x+1)(x-3)) = 3$ $(x+1)(x-3)$

$= 4^{3}$ $(x+1)(x-3) = 64$ 

d)  $\ln((\frac{1}{5})^{x^{2}-2x}) \geq \ln(\frac{1}{125})$

$(x^{2}-2x) \ln(\frac{1}{5}) \geq \ln(\frac{1}{125})$

$x^{2}-2x \leq \frac{\ln(\frac{1}{125})}{\ln(\frac{1}{5})}$ 

e) $\ln((2-\sqrt{3})^{x}) \leq \ln((2+\sqrt{3})^{x+2})$

$x \ln(2-\sqrt{3}) \leq (x+2) \ln(2+\sqrt{3})$

$x \leq \frac{(x+2) \ln(2+\sqrt{3})}{\ln(2-\sqrt{3})}$

f)  $\log_{10}(3x^{2}+1) > \log_{10}(4x)$

Sau đó, ta loại bỏ dấu logarith để được: $3x^{2}+1 > 4x$

a) Để tính độ pH của một dung dịch có nồng độ ion hydrogen là 0,1 mol/lit, ta sử dụng công thức $pH = -\log[H^{+}]$: $pH = -\log(0,1) = -\log(10^{-1}) = -(-1) = 1$

Vậy độ pH của dung dịch là 1.

b) Khi nồng độ ion hydrogen giảm, độ pH sẽ tăng. Điều này đúng vì độ pH được tính bằng giá trị âm của logarit cơ số 10 của nồng độ ion hydrogen. Khi nồng độ giảm, giá trị logarit càng tăng, và do đó độ pH càng tăng.

c) Để xác định nồng độ ion hydrogen trong bia biết độ pH của bia là khoảng 4,5, ta sử dụng công thức $pH = -\log[H^{+}]$. Chuyển đổi công thức này, ta có: $\log[H^{+}] = -pH$ $[H^{+}] = 10^{-pH}$

Với độ pH khoảng 4,5, ta có: $[H^{+}] = 10^{-4,5}$

Sử dụng máy tính hoặc bảng logarit, ta tính được: $[H^{+}] \approx 3,16 \times 10^{-5}$ mol/lit

Vậy nồng độ ion hydrogen trong bia khoảng 3,16 x $10^{-5}$ mol/lit.

a) $y=3x^{2}-2 \sqrt{x}$

$y' = (3x^2)' - (2\sqrt{x})'$

$y' = 6x - \frac{1}{\sqrt{x}}$

b) $y=\sqrt{1+2x-x^{2}}$

$y' = \left(\sqrt{1+2x-x^2}\right)'$

$y' = \left(\sqrt{u}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{u}}(u)'$

$y' = \frac{1}{2\sqrt{1+2x-x^2}}(1+2x-x^2)'$

$(1+2x-x^2)' = 2 - 2x$

$y' = \frac{1}{2\sqrt{1+2x-x^2}}(2 - 2x)$

$y' = \frac{2 - 2x}{2\sqrt{1+2x-x^2}}$

c) $y=tan \frac{x}{2}- cot \frac{x}{2}$

$y' = \left(\tan\frac{x}{2} - \cot\frac{x}{2}\right)'$$y' = \left(\tan\frac{x}{2} - \cot\frac{x}{2}\right)'$

$y' = \left(\tan\frac{x}{2}\right)' - \left(\cot\frac{x}{2}\right)'$

$y' = \frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}\cdot\frac{1}{2} - \frac{-1}{\sin^2\frac{x}{2}}\cdot\frac{1}{2}$

$y' = \frac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}} + \frac{1}{2\sin^2\frac{x}{2}}$

d) $y = e^{ex} + \ln(x^2)$

$y' = (e^{ex} + \ln(x^2))'$

$y' = (e^{ex})' + (\ln(x^2))'$

$(e^{ex})' = e^{ex}\cdot(ex)'$

$(e^{ex})' = e^{ex}\cdot(e)'x + e^{ex}\cdot x'$

$(e^{ex})' = e^{ex}\cdot(e)\cdot x + e^{ex}\cdot 1$

$(e^{ex})' = e^{ex}\cdot(ex + 1)$

$(\ln(x^2))' = \frac{1}{x^2}\cdot(x^2)'$

$(\ln(x^2))' = \frac{1}{x^2}\cdot(2x)$

$(\ln(x^2))' = \frac{2x}{x^2}$

$y' = e^{ex}\cdot(ex + 1) + \frac{2x}{x^2}$

$y' = e^{ex}\cdot(ex + 1) + \frac{2}{x}$

a) Vận tốc $v(t)$ là đạo hàm của $s(t)$:

$v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt}$

$v(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 3t^2 - 9t + 2)$

$v(t) = 3t^2 - 6t - 9$

Để tính vận tốc tại $t = 2$, ta thay $t = 2$ vào công thức vận tốc:

$v(2) = 3(2)^2 - 6(2) - 9$

$v(2) = 12 - 12 - 9$

$v(2) = -9$ (m/s)

Vậy, vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 2$ giây là $-9$ m/s.

b) Gia tốc $a(t)$ là đạo hàm của vận tốc $v(t)$:

$a(t) = v'(t) = \frac{dv}{dt}$

$a(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 6t - 9)$

$a(t) = 6t - 6$

Để tính gia tốc tại $t = 3$, ta thay $t = 3$ vào công thức gia tốc:

$a(3) = 6(3) - 6$

$a(3) = 18 - 6$

$a(3) = 12$ (m/s²)

Vậy, gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 3$ giây là $12$ m/s².

c) Trong đó, $a = 3$, $b = -6$, và $c = -9$. Thay vào công thức, ta có:

$t = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(-9)}}{2(3)}$

$t = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 108}}{6}$

$t = \frac{6 \pm \sqrt{144}}{6}$

$t = \frac{6 \pm 12}{6}$

Với $t = \frac{6 + 12}{6} = \frac{18}{6} = 3$, hoặc $t = \frac{6 - 12}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Để vận tốc bằng 0, chất điểm phải đạt đến thời điểm $t = 3$ giây.

$a(t) = \frac{d}{dt}(6t - 6)$

$a(t) = 6$

Vậy, gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc bằng 0 ($t = 3$ giây) là $6$ m/s².

d) Để gia tốc bằng 0, chất điểm phải đạt đến thời điểm $t = 1$ giây.

Tiếp theo, chúng ta tính vận tốc tại thời điểm $t = 1$ bằng cách tính đạo hàm của $s(t)$:

$v(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 3t^2 - 9t + 2)$

$v(t) = 3t^2 - 6t - 9$

$v(1) = 3(1)^2 - 6(1) - 9$

$v(1) = 3 - 6 - 9$

$v(1) = -12$ (m/s)

Vậy, vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc bằng 0 ($t = 1$ giây) là $-12$ m/s.

a) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó, ta có $OM \perp BC$ vì $OM$ là đường trung bình của tam giác $ABC$.

Vì $\widehat{BOC} = 90°$, nên $OM$ là đường cao của tam giác $BOC$. Từ đó, ta có $(OBC) \perp BC$.

Tiếp theo, ta chứng minh rằng $AM \perp BC$. Vì $\widehat{AOB} = \widehat{AOC} = 60°$, ta có $\widehat{BOC} = 180° - 60° - 60° = 60°$.

Vậy, tam giác $BOC$ là tam giác cân tại đỉnh $O$. Do đó, đường cao $OH$ trong tam giác $BOC$ cắt $BC$ tại trung điểm $M$ và đồng thời là đường trung trực của $BC$.

Vì vậy, $AM \perp BC$, từ đó suy ra $(ABC) \perp BC$.

Do đó, ta có $(OBC) \perp (ABC)$.

b) 

Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó, ta có OH⊥BC và OH=$\frac{a}{2}$​.

Gọi M là trung điểm của OA. Khi đó, ta có $OM \perp (ABC)$ và $OM = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Vậy khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là $\frac{a \sqrt{3}}{6}$

Thể tích khối tứ diện OABC là $\frac{1}{3} S_{ABC} OH = \frac{1}{3} . \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2} . \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{24} a^{2}$

Ta có $SA = a \sqrt{2}$ và ABCD là hình vuông cạnh a. Khi đó SC là đường cao của tam giác SAB nên $SC^{2} = SB^{2}+ AB ^{2} = (a \sqrt{2})^{2} + a^{2} = 3a{2}$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên đường thẳng SC, ta có $ AH = \frac{SA.SC}{\sqrt{SA^{2}+SC^{2}}}= \frac{a\sqrt{6}}{3}$ . Khi đó ta có $\Delta SAE \sim \Delta SCH$ nên $\frac{AE}{CH} = \frac{SA}{SC}=\frac{\sqrt{2}}{3}$ và $\Delta SBC \sim \Delta SCH$ nên $\frac{BC}{CH} = \frac{SB}{SC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

a) Do $\frac{AE}{BC} = \frac{\sqrt{6}}{3 \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.nên $SA \perp BC$

b) Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là

$\frac{1}{3} . S_{ABCD}.SA= \frac{1}{3}a^{2}.a\sqrt{2}=a^{3} \sqrt{\frac{2}{3}}$

Thể tích khối chóp $S.AEMF$ là

$\frac{1}{3} . S_{AEMF}.SA= \frac{\sqrt{6}}{4}a^{2}.a\sqrt{\frac{6}{9}}=a^{3} \sqrt{\frac{\sqrt{6}}{12}}$

a) Để chứng minh rằng MN // HK, ta có thể sử dụng định lí Thales.

Ta có $\frac{AH}{HB} = \frac{AA'}{BB'} = \frac{\sqrt{2}}{1}$ và $\frac{AK}{KC} = \frac{AA'}{CC'}=\frac{\sqrt{2}}{1}$

$\Rightarrow \frac{AH}{HB}=\frac{AK}{KC} $ và MN // HK$

b) Để tính thể tích khối chóp A’.AHK, ta có thể sử dụng công thức

$V_{A'.AHK} =\frac{1}{3} S_{A'HK}.AH $

Diện tích tam giác $AHK$ có thể tính bằng công thức:

$S_{AHK} = \frac{1}{2} \times AH \times HK$.

Ta cần tính độ dài cạnh $AH$. Vì $AA' = a \sqrt{2}$ và $A'M \parallel A'H$, ta có:

$\frac{AH}{AA'} = \frac{HM}{A'M}$.

Vì $HM$ là đường trung bình của tam giác $BB'$, nên $HM = \frac{BB'}{2} = \frac{a}{2}$. Vì $A'M$ là đường trung bình của tam giác $BB'$, nên $A'M = \frac{BB'}{2} = \frac{a}{2}$.

Thay các giá trị vào, ta có:

$\frac{AH}{a \sqrt{2}} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}} = 1$.

Suy ra, $AH = a \sqrt{2}$.

Thay các giá trị vào công thức, ta có:

$S_{AHK} = \frac{1}{2} \times a \sqrt{2} \times \frac{a}{2} = \frac{a^2 \sqrt{2}}{4}$.

Chiều cao của chóp $A'.AHK$ là độ dài đường thẳng $A'A$, nên $h_{A'.AHK} = AA' = a \sqrt{2}$.

Thay các giá trị vào công thức, ta có:

$V_{A'.AHK} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{2}}{4} \times a \sqrt{2} = \frac{a^3}{6}$.

a) Ta có $\widehat{SAB} = \widehat{SAD} = 45^{\circ}$

$\Rightarrow SAB $ cân tại S do đó  $SB = SA =a$

Ta lại có $SC = SD =a$ 

$\widehat{SCD} = \widehat{SAD} = 45^{\circ}$ nên am giác SCD cân tại 

Do đó, SC là trung tuyến của tam giác BCD, suy ra $BD⊥SC$.

b) b) Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$, ta sẽ tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Gọi $M$ là giao điểm của $BD$ và $SC$. Ta cần tính độ dài $BM$.

Vì $BD \perp (ACD)$, nên ta có $BM \perp (ACD)$.

Gọi $N$ là giao điểm của $BM$ và $AC$. Khi đó, ta có $BN \perp AC$.

Ta biết rằng $ABCD$ là hình thoi và $\widehat{ABD} = 30^{\circ}$.

Do đó, tam giác $ABN$ là tam giác vuông tại $N$.

Vì $AB = BC = \frac{a}{\sqrt{2}}$ (vì $ABCD$ là hình thoi và $AB = BC$), nên $AN = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{6}}$.

Vậy, ta đã tìm được độ dài $BN = AN \sin(\widehat{ABN}) = \frac{a}{\sqrt{6}} \sin(30^{\circ}) = \frac{a}{2\sqrt{6}}$.

a) Để chứng minh $BD \perp (SAM)$, ta cần chứng minh rằng đường thẳng $BD$ và mặt phẳng $(SAM)$ là vuông góc với nhau.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật, ta có $AD \parallel BC$ và $AB \parallel CD$. Do đó, $AB \parallel (SAM)$.

Gọi $O$ là giao điểm của các đường thẳng $BD$ và $AC$.

Ta cần chứng minh rằng $AO \perp BD$.

Vì $SA \perp (ABCD)$, ta có $SA \perp AC$. Vì $AB \parallel (SAM)$, ta cũng có $AB \perp AC$. Do đó, $A$ là giao điểm của $SA$ và $AB$, nên $AO \perp BD$.

Vậy, ta đã chứng minh được $BD \perp (SAM)$.

b) Để tính thể tích khối chóp $S.ABMD$, ta sử dụng công thức thể tích khối chóp:

$V_{S.ABMD} = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao}$.

Đáy của chóp $S.ABMD$ là hình chữ nhật $ABCD$.

Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là $S_{ABCD} = AB \times AD = a \sqrt{2} \times a = a^2 \sqrt{2}$.

Chiều cao của chóp $S.ABMD$ là độ dài đường thẳng $SM$.

Vì $M$ là trung điểm của $CD$, ta có $CM = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} a$.

Do đó, ta có $SM = SA - AM = a \sqrt{3} - CM = a \sqrt{3} - \frac{1}{2} a = \frac{2 \sqrt{3} - 1}{2} a$.

Thay các giá trị vào công thức, ta có:

$V_{S.ABMD} = \frac{1}{3} \times a^2 \sqrt{2} \times \frac{2 \sqrt{3} - 1}{2} a = \frac{a^3}{3} (\sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Vậy, thể tích khối chóp $S.ABMD$ là $\frac{a^3}{3} (\sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Dựa trên mẫu số liệu trên, chúng ta có thể tính tổng số hộ gia đình trong địa phương này là 8+17+35+56+27+15=158.

Tổng số hộ gia đình thuộc nhóm thu nhập thấp nhất là 8+17=25.

Do đó, tỷ lệ hộ gia đình thuộc nhóm thu nhập thấp nhất là $\frac{25}{158}=0.1582$ hoặc gần 15.82%. Công ty muốn hỗ trợ các gia đình thuộc nhóm này. Do đó, ngưỡng thu nhập của hộ gia đình sẽ được hỗ trợ từ doanh nghiệp đó là dưới hoặc bằng 5 triệu VND.

a) xác suất để Cường không đạt giải.

Vì P(D') = 1 - P(D) và P(C') = 1 - P(C), ta có: P(A) = 1 - (1 - P(D)) * (1 - P(C))

Thay vào giá trị P(D) = 0,85 và P(C) = 0,9

ta tính được: P(A) = 1 - (1 - 0,85) * (1 - 0,9) = 1 - 0,15 * 0,1 = 1 - 0,015 = 0,985

b) Để tính xác suất có đúng một bạn đạt giải (B), ta sử dụng định lý xác suất có điều kiện: P(B) = P(D) * P(C') + P(D') * P(C)

Thay vào giá trị P(D) = 0,85 và P(C) = 0,9

ta tính được: P(B) = 0,85 * (1 - 0,9) + (1 - 0,85) * 0,9 = 0,85 * 0,1 + 0,15 * 0,9 = 0,085 + 0,135 = 0,22

Gọi P(R1) là xác suất để động cơ bên cánh phải thứ nhất không bị lỗi, P(R2) là xác suất để động cơ bên cánh phải thứ hai không bị lỗi, P(L1) là xác suất để động cơ bên cánh trái thứ nhất không bị lỗi, và P(L2) là xác suất để động cơ bên cánh trái thứ hai không bị lỗi.

Theo đề bài, P(R1) = 0,01, P(R2) = 0,01, P(L1) = 0,015, và P(L2) = 0,015.

P(Safe) = 1 - P(Both wings fail) = 1 - P(R1 fails) x P(R2 fails) x P(L1 fails) x P(L2 fails)

Vì các động cơ hoạt động độc lập với nhau, ta có: P(R1 fails) = 1 - P(R1) = 1 - 0,01 = 0,99 P(R2 fails) = 1 - P(R2) = 1 - 0,01 = 0,99 P(L1 fails) = 1 - P(L1) = 1 - 0,015 = 0,985 P(L2 fails) = 1 - P(L2) = 1 - 0,015 = 0,985

Thay vào giá trị, ta tính được: P(Safe) = 1 - 0,99 x 0,99 x 0,985  x 0,985 = 1 - 0,96059625 ≈ 0,0394

Vậy, xác suất để chuyến bay hạ cánh an toàn là khoảng 0,0394 (hoặc 3,94%).