Giải toán 11 kết nối bài Bài tập cuối chương IV
Giải bài: Bài tập cuối chương IV sách toán 11 tập 1 kết nối tri thức. Phần đáp án chuẩn, hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài tập có trong chương trình học của sách giáo khoa. Hi vọng, các em học sinh hiểu và nắm vững kiến thức bài
A - Trắc nghiệm
Bài tập 4.35 trang 102 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng a và cắt mặt phẳng (P)theo giao tuyến là đường thẳng b. Vị trí trương đối của hai đường thẳng a và b là
A. chéo nhau.
B. cắt nhau.
C. song song.
D. trùng nhau.
Theo lý thuyết ta có: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến b thì b song song với a.
Đáp án: C
Bài tập 4.36 trang 102 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi Mlà trung điềm của cạnh SD. Đường thẳng SB song song với mặt phẳng
A. (CDM)
B. (ACM)
C. (ADM)
D. (ACD)
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD, khi đó hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
Xét tam giác SBD có M, O lần lượt là trung điểm của SD và BD nên MO là đường trung bình của tam giác SBD, suy ra MO // SB.
Vì O thuộc AC nên O thuộc mặt phẳng (ACM) và M thuộc mặt phẳng (ACM) nên mặt phẳng (ACM) chứa đường thẳng OM.
Khi đó ta có đường thẳng SB song song với đường thẳng OM và đường thẳng OM nằm trong mặt phẳng (ACM), do vậy đường thẳng SB song song với mặt phẳng (ACM).
Đáp án: B
Bài tập 4.37 trang 102 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Cho hình hộp ABCD⋅A′B′C′D′. Mặt phẳng (AB′D′) song song với mặt phẳng
A. (ABCD)
B. (BCC′B′)
C. (BDA′)
D. (BDC′)
Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt của nó là hình bình hành và các cạnh bên AA', BB', CC', DD' đôi một song song và bằng nhau.
Tứ giác BDD'B' có DD' // BB' và DD' = BB' nên BDD'B' là hình bình hành, suy ra B'D' // BD. Do đó, B'D' song song với mặt phẳng (BDC').
Vì A'B'C'D' là hình bình hành nên A'B' // C'D' và A'B' = C'D'.
Vì ABB'A' là hình bình hành nên A'B' // AB và A'B' = AB.
Do đó, AB // C'D' và AB = C'D', suy ra tứ giác ABC'D' là hình bình hành nên BC' // AD'. Do vậy AD' song song với mặt phẳng (BDC').
Mặt phẳng (AB'D') chứa hai đường thẳng cắt nhau B'D' và AD' cùng song song với mặt phẳng (BDC') nên hai mặt phẳng (AB'D') và (BDC') song song với nhau.
Đáp án: D
Bài tập 4.38 trang 102 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song với nhau. Đường thẳng a cắt các mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C sao cho $\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$ và đường thẳng b cắt các mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt tại A', B', C'. Tỉ số $\frac{A'B'}{B'C'}$ bằng
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{3}{2}$
D. $\frac{2}{5}$
Áp dụng định lý Thales cho ba mặt phẳng đôi một song song (P), (Q), (R) và hai cát tuyến a và b ta có:
$\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}=\frac{2}{3}$
Đáp án: A
Bài tập 4.39 trang 102 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,SD; K là giao điểm của mặt phẳng (AMN) và đường thẳng SC. Tỉ số $\frac{SK}{SC}$
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{2}{3}$
Gọi O là giao điểm AC và BD, gọi P là trung điểm MN
Ta có MN là đường trung bình tam giác SBD suy ra S, P, O thẳng hàng và P là trung điểm của SO
Do đó P thuộc SO hay P thuộc mp(SAC)
Trong mp(SAC), nối AP kéo dài cắt SC tại K suy ra K là giao điểm của SC và mp(AMN)
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SOC:
$\frac{KS}{KC}\times \frac{CA}{AO}\times \frac{OP}{PS}=1$ suy ra $\frac{KS}{KC}\times \frac{2}{1}\times 1=1$ suy ra $\frac{KS}{KC}=\frac{1}{2}$
Vậy $\frac{SK}{SC}=\frac{1}{3}$
Đáp án: B
Bài tập 4.40 trang 102 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Cho hình hộp ABCD⋅A′B′C′D′. Gọi M,M′ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,B′C′. Hình chiếu của ΔB′DM qua phép chiếu song song trên (A′B′C′D′) theo phương chiếu AA′ là
A. ΔB′A′M′
B. ΔC′D′M′
C. ΔDMM
D. ΔB′D′M′
Ta có B' là hình chiếu song song của chính nó lên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu AA' (1).
Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt bên của nó là hình bình hành và các cạnh bên AA', BB', CC', DD' đôi một song song với nhau.
Vì DD' // AA' nên D' là hình chiếu song song của D lên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu AA' (2).
Xét hình bình hành BCC'B' có M, M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B'C' do đó MM' là đường trung bình của hình bình hành nên MM' // CC', suy ra MM' // AA'. Vậy M' là hình chiếu song song của điểm M lên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu AA' (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra ∆B'D'M' là hình chiếu của ∆B'DM qua phép chiếu song song trên (A'B'C'D') theo phương chiếu AA'.
Đáp án: D
B - Tự luận
Bài tập 4.41 trang 103 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB//CD và AB<CD. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng sau:
a) (SAD) và (SBC)
b) (SAB) và (SCD)
c) (SAC)và (SBD)
a) Gọi giao điểm của AD và BC là K
Ta có: SK cùng thuộc mp(SAD) và (SBC)
Vậy SK là giao tuyến của (SAD) và (DBC)
b) (SAB) và (SCD) có AB // CD và S chung nên giao tuyesn là dường thẳng Sx đi qua x và song song với AB và CD
c) Gọi O là giao điểm cuae AC và BD suy ra O thuộc giao tuyến của (SAC) và (SBC)
Suy ra SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD)
Bài tập 4.42 trang 103 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Cho hình lăng trụ tam giác ABC⋅A′B′C′. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC và AA′.
a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B′C.
b) Gọi K là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B′C. Tính tỉ số $\frac{KB'}{KC}$
a) Ta có $(MNP)\cap (ABC)={MN},(ABC)\cap (ACC'A')={AC}, AC //MN$ (do MN là đường trung ình của tam giác ABC) suy ra giao tuyến của (MNP) và (ACC'A') song song với MN và AC
Qua P kẻ đường thẳng song song với AC cắt CC' tại H
PH là giao tuyến của (MNP) và (ACC'A')
Nối H với N cắt B'C tại K
Vậy K là giao điểm của (MNP) và B'C
b) Gọi giao điểm BC' và B'C là O
Ta có ACC'A' là hình bình hành P là trung điểm AA', PH //AC suy ra H là trung điểm CC'
Xét tam giác CC'B ta có: HN là đường trung bình suy ra CK = OK
Mà OC = OB' suy ra $\frac{KB'}{KC}=3$
Bài tập 4.43 trang 103 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC và cạnh AB lần lượt lấy điểm M và N sao cho CM=2SM và BN=2AN.
a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (ABM) với đường thẳng SD. Tính tỉ số $\frac{SK}{SD}$
b) Chứng minh rằng MN//(SAD)
a) Ta có: $(ABM)\cap (ABCD)=AB, (ABCD)\cap (SCD)=CD,AB//CD) suy ra giao tuyến của (ABM) và (SCD) là đường thẳng qua M song song với AB và CD
Qua M kẻ MK song song với CD (K thuộc SD)
Vậy, K là giao điểm của (AMN) và SD
Xét tam giác SCD ta có: MK //CD suy ra $\frac{SK}{SD}=\frac{SM}{SC}=\frac{1}{3}$
b) Xét tam giác SCD ta có: MK //CD suy ra $\frac{MK}{CD}=\frac{SM}{SC}=\frac{1}{3}$
Lại có $\frac{AN}{AB}=\frac{1}{3},AB = CD$ suy ra AN = MK
Xét tứ giác ANMK ta có: AN = MK, AN // MK suy ra ANMK là hình bình hành do đó MN // AK hay MN // (SAD)
Bài tập 4.44 trang 103 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G,K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD,SCD
a) Chứng minh rằng GK//(ABCD)
b) Mặt phẳng chứa đường thẳng GK và song song với mặt phẳng (ABCD) cắt các cạnh SA,SB,SC,SD lần lượt tại M,N,E,F. Chứng minh rằng tứ giác MNEF là hình bình hành.
a) Xét tam giác HAC ta có: GH = 2GA, HK = 2KC suy ra GK // AC hay GK // (ABCD)
b) (MNEF) // (ABCD) do đó MN // AB, NE // BC, EF // CD, MF // AD
Lại có AB // CD, AD // BC suy ra MN // EF, MF // NE
Suy ra MNEF là hình bình hành
Bài tập 4.45 trang 103 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Cho hình hộp ABCD⋅A′B′C′D′. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của cạnh AD,A′B′. Chứng minh rằng:
a) BD//B′D′,(A′BD)//(CB′D′) và MN//(BDD′B′);
b) Đường thẳng AC′ đi qua trọng tâm G của tam giác A′BD
a) Ta có: $(A'B'C'D') //(ABCD), (B'D'DB)\cap (A'B'C'D')=B'D', (B'D'DB)\cap (ABCD)=BD$ suy ra B'D' // DB
Xét (A'BD) và (CB'D') có BD // B'D', A'B // CD' suy ra (A'BD) //(CB'D')
Xét tứ giác B'NMO ta có: B'N = MO, B'N // MO suy ra B'NMO là hình bình hành do đó B'O // MN
hay MN // (BDD'B')
b) Xét tứ giác A'C'OA ta có: A'C' // AO, A'C' = 2AO suy ra A'G =2GO mà O là trung điểm BD suy ra G là trọng tâm tam giác A'BD
Như vậy AC' đi qua trọng tâm G của tam giác A'BD
Bài tập 4.46 trang 103 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 3AM. Mặt phẳng (P) đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC
a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (P) với đường thẳng CD
b) Tính tỉ số $\frac{KC}{CD}$
a) Qua M kẻ MH// BC, MI // AD.
mp(P) đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC suy ra mp(P) chứa MH và MI
Ta có: $(ABC)\cap (P) =MH,(ABC)\cap (BCD)=BC,MH//BC$ suy ra giao tuyến của (P) và (BCD) song song với BC và MH
Qua I kẻ IK // BC (K thuộc CD)
Vậy giao điểm của (P) và CD là K
b) Ta có: $(P)\cap (ABD)=MI, (ABD)\cap (ACD)=AD,(P)\cap (ACD)=HK,MI//AD$ suy ra HK //MI
Tứ giác MHKI có: MH // KI, MI // HK suy ra MHKI là hình bình hành do đó MH = KI
Xét tam giác ABC có MH // BC, BM = 3AM suy ra BC = 4MH suy ra BC = 4KI
Xét tam giác BCD có IK // BC, BC = 4KI suy ra $\frac{KC}{CD}=\frac{3}{4}$