Giải toán 11 kết nối bài Bài tập cuối chương I
Giải bài: Bài tập cuối chương I sách toán 11 tập 1 kết nối tri thức. Phần đáp án chuẩn, hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài tập có trong chương trình học của sách giáo khoa. Hi vọng, các em học sinh hiểu và nắm vững kiến thức bài
A - Trắc nghiệm
Bài tập 1.23 trang 40 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Biểu diễn các góc lượng giác $\alpha =-\frac{5\pi }{6},\beta =\frac{\pi }{3},\gamma =\frac{25\pi }{3},\delta =\frac{17\pi }{6} $trên đường tròn lượng giác. Các góc nào có điểm biểu diễn trùng nhau?
A. β và γ.
B. α, β, γ.
C. β, γ, δ.
D. α và β.
Ta có: $\gamma =\frac{25\pi }{3}=\frac{24\pi }{3}+\frac{\pi }{3}=4\times 2\pi +\frac{\pi }{3}=\beta +4\times 2\pi $
Do đó, hai góc β và γ có điểm biểu diễn trùng nhau.
Đáp án: A
Bài tập 1.24 trang 40 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A. sin(π – α) = sin α.
B. cos(π – α) = cos α.
C. sin(π + α) = – sin α.
D. cos(π + α) = – cos α.
Vì π – α và α là hai góc bù nhau nên sin(π – α) = sin α; cos(π – α) = – cos α. Do đó đáp án A đúng và đáp án B sai.
Ta có góc π + α và α là hai góc hơn kém nhau 1 π nên sin(π + α) = – sin α, cos(π + α) = – cos α. Do đó đáp án C và D đều đúng.
Đáp án: C và D
Bài tập 1.25 trang 40 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A. cos(a – b) = cos a cos b – sin a sin b.
B. sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b.
C. cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b.
D. sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b.
Ta có các công thức cộng:
cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
Vậy đáp án A sai.
Đáp án: A
Bài tập 1.26 trang 40 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Rút gọn biểu thức M = cos(a + b) cos(a – b) – sin(a + b) sin(a – b), ta được:
A. M = sin 4a.
B. M = 1 – 2 cos$^{2}$ a.
C. M = 1 – 2 sin$^{2}$ a.
D. M = cos 4a.
Ta có: M = cos(a + b) cos(a – b) – sin(a + b) sin(a – b)
= cos[(a + b) + (a – b)] (áp dụng công thức cộng)
= $cos 2a = 2cos^{2} a – 1 = 1 – 2 sin^{2} a $ (áp dụng công thức nhân đôi)
Đáp án: C
Bài tập 1.27 trang 40 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số y = cos x có tập xác định là ℝ.
B. Hàm số y = cos x có tập giá trị là [– 1; 1].
C. Hàm số y = cos x là hàm số lẻ.
D. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π.
Hàm số y = cos x:
- Có tập xác định là ℝ và tập giá trị là [– 1; 1];
- Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì 2π.
Đáp án: C
Bài tập 1.28 trang 40 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm tuần hoàn?
A. y = tan x + x.
B. y = x$^{2}$ + 1.
C. y = cot x.
D. $y=\frac{sinx}{x}$
Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π.
Đáp án: C
Bài tập 1.29 trang 40 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Đồ thị của các hàm số y = sin x và y = cos x cắt nhau tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn $[-2\pi ;\frac{5\pi }{2}]$?
A. 5.
B. 6.
C. 4.
D. 7.
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = sin x và y = cos x là nghiệm của phương trình sin x = cos x ⇔ tan x = 1 (do $tanx=\frac{sinx}{cosx})\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi +k\pi ,k\in Z$
Ta có: $-2\pi \leq \frac{\pi }{4}+k\pi \leq \frac{5\pi }{2}\Leftrightarrow -\frac{9\pi }{4}\leq k\pi \leq \frac{9\pi }{4}\Leftrightarrow -2.25\leq k\leq 2.25$
Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {– 2; – 1; 0; 1; 2}.
Vậy đồ thị của các hàm số y = sin x và y = cos x cắt nhau tại 5 điểm có hoành độ thuộc đoạn $[-2\pi ;\frac{5\pi }{2}]$
Đáp án: A
Bài tập 1.30 trang 40 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Tập xác định của hàm số $y=\frac{cosx}{sinx-1}$ là
A. ℝ \ {k2π, k ∈ ℤ}.
B. R\{$\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in Z$}
C. R\{$\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z$}
D. ℝ \ {kπ, k ∈ ℤ}.
Biểu thức $y=\frac{cosx}{sinx-1}$ có nghĩa khi sin x – 1 ≠ 0 ⇔ sin x ≠ 1 ⇔ $x ≠ \frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in Z$
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = R\{$\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in Z$}
Đáp án: B
B - Tự luận
Bài tập 1.31 trang 41 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Cho góc α thỏa mãn $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi ,cos\alpha =-\frac{1}{\sqrt{3}}$.Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $sin(\alpha +\frac{\pi }{6})$
b) $cos(\alpha +\frac{\pi }{6})$
c) $sin(\alpha -\frac{\pi }{3})$
d) $cos(\alpha -\frac{\pi }{6})$
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi $ nên sin α > 0. Mặt khác từ $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ suy ra $sin\alpha =\sqrt{1-có^{2}\alpha }=\sqrt{1-(-\frac{1}{\sqrt{3}})^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
a) $sin(\alpha +\frac{\pi }{6})=sin\alpha cos\frac{\pi }{6}+cos\alpha sin\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+(-\frac{1}{\sqrt{3}})\times \frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$
b) $cos(\alpha +\frac{\pi }{6})=cos\alpha cos\frac{\pi }{6}-sin\alpha sin\frac{\pi }{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{-3-\sqrt{6}}{6}$
c) $sin(\alpha -\frac{\pi }{3})=sin\alpha cos\frac{\pi }{3}-cos\alpha sin\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{1}{2}-(-\frac{1}{\sqrt{3}})\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}+3}{6}$
d) $cos(\alpha -\frac{\pi }{6})=cos\alpha cos\frac{\pi }{6}+sin\alpha sin\frac{\pi }{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{-3+\sqrt{6}}{6}$
Bài tập 1.32 trang 41 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Cho góc bất kì α. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (sin α + cos α)$^{2}$ = 1 + sin 2α;
b) $cos^{4} α – sin^{4} α = cos 2α.$
a) Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$
và công thức nhân đôi: sin 2α = 2sin α cos α.
Ta có: $VT = (sin α + cos α)^{2} = sin^{2} α + cos^{2} α + 2sin α cos α = 1 + sin 2α = VP$ (đpcm).
b) Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$
và công thức nhân đôi: $cos 2α = cos^{2} α – sin^{2} α.$
Ta có: $VT = cos^{4} α – sin^{4} α = (cos^{2} α)^{2} – (sin^{2} α)^{2}$
=$ (cos^{2} α + sin^{2} α)(cos^{2} α – sin^{2} α) = 1$ x cos 2α = cos 2α = VP (đpcm).
Bài tập 1.33 trang 41 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Tìm tập giá trị của các hàm số sau:
a) $y=2cos(2x-\frac{\pi }{3})-1$
b) y = sinx + cosx
a) Ta có: $-1\leq cos(2x-\frac{\pi }{3})\leq 1$ với mọi $x\in R$
$\Leftrightarrow -2\leq 2cos(2x-\frac{\pi }{3})\leq 2$ với mọi $x\in R$
$\Leftrightarrow -2-1\leq 2cos(2x-\frac{\pi }{3})-1\leq 2-1$ với mọi $x\in R$
$\Leftrightarrow -3\leq 2cos(2x-\frac{\pi }{3})-1\leq 1$ với mọi $x\in R$
$\Leftrightarrow -3\leq y\leq 1$ với mọi $x\in R$
Vậy tập giá trị của hàm số $y=2cos(2x-\frac{\pi }{3})-1$ là [-3;1]
b) Ta có: $sinx+cosx=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}sinx+\frac{1}{\sqrt{2}}cosx)$
$=\sqrt{2}(cos\frac{\pi }{4}sinx+sin\frac{\pi }{4}cosx)=\sqrt{2}(sinxcos\frac{\pi }{4}+cosxsin\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})$
Khi đó ta có hàm số $y=\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})$
Lại có: $-1\leq sin(x+\frac{\pi }{4})\leq 1$ với mọi $x\in R$
$\Leftrightarrow -\sqrt{2}\leq \sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})\leq \sqrt{2}$ với mọi $x\in R$
$\Leftrightarrow -\sqrt{2}\leq y\leq \sqrt{2}$ với mọi $x\in R$
Vậy tập giá trị của hàm số y = sinx + cosx là $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$
Bài tập 1.34 trang 41 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Giải các phương trình sau:
a) $cos(3x-\frac{\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
b) $2sin^{2}x-1+cos3x=0$
c) $tan(2x+\frac{\pi }{5})=tan(x-\frac{\pi }{6})$
a) $cos(3x-\frac{\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow cos(3x-\frac{\pi }{4})=cos\frac{3\pi }{4}$
$\Leftrightarrow 3x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi $ hoặc $3x-\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)$
$\Leftrightarrow 3x=\pi +k2\pi $ hoặc $3x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi (k\in Z)$
$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}$ hoặc $x=-\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3} (k\in Z)$
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3} (k\in Z)$ và $x=-\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3} (k\in Z)$
b) $2sin^{2}x-1+cos3x=0\Leftrightarrow -(1-2sin^{2}x)+cos3x=0$
$\Leftrightarrow -cos2x+cos3x=0\Leftrightarrow cos3x=cos2x$
$\Leftrightarrow 3x=2x+k2\pi $ hoặc $3x=-2x+k2\pi (k\in Z)$
$\Leftrightarrow x=k2\pi $ hoặc $5x=k2\pi (k\in Z)$
$\Leftrightarrow x=k2\pi $ hoặc $x=k\frac{2\pi }{5}(k\in Z)$
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=k2\pi (k\in Z)$ và $x=k\frac{2\pi }{5}(k\in Z)$
c) $tan(2x+\frac{\pi }{5})=tan(x-\frac{\pi }{6})$
$\Leftrightarrow 2x+\frac{\pi }{5}=x-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in Z$
$\Leftrightarrow x=-\frac{11\pi }{30}+k\pi ,k\in Z$
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=-\frac{11\pi }{30}+k\pi ,k\in Z$
Bài tập 1.35 trang 41 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm thu và tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hóa bởi hàm số
p(t) = 115 + 25sin(160πt),
trong đó p(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thủy ngân) và thời gian t tính theo phút.
a) Tìm chu kì của hàm số p(t).
b) Tìm số nhịp tim mỗi phút.
c) Tìm chỉ số huyết áp. So sánh huyết áp của người này với huyết áp bình thường.
a) Chu kì của hàm số p(t) là $T=\frac{2\pi }{160\pi }=\frac{1}{80}$
b) Thời gian giữa hai lần tim đập là $T=\frac{1}{80}$ (phút)
Số nhịp tim mỗi phút là $1:\frac{1}{80}=80$ nhịp.
c) Ta có: – 1 ≤ sin(160πt) ≤ 1 với mọi t ∈ ℝ
⇔ – 25 ≤ 25sin(160πt) ≤ 25 với mọi t ∈ ℝ
⇔ 115 + (– 25) ≤ 115 + 25sin(160πt) ≤ 115 + 25 với mọi t ∈ ℝ
⇔ 90 ≤ p(t) ≤ 140 với mọi t ∈ ℝ
Do đó, chỉ số huyết áp của người này là 140/90 và chỉ số huyết áp của người này cao hơn mức bình thường.
Bài tập 1.36 trang 41 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Khi một tia sáng truyền từ không khí vào mặt nước thì một phần tia sáng bị phản xạ trên bề mặt, phần còn lại bị khúc xạ như trong Hình 1.26. Góc tới i liên hệ với góc khúc xạ r bởi Định luật khúc xạ ánh sáng
$\frac{sini}{sinr}=\frac{n_{2}}{n_{1}}$
Ở đây, n1 và n2 tương ứng là chiết suất của môi trường 1 (không khí) và môi trường 2 (nước). Cho biết góc tới i = 50°, hãy tính góc khúc xạ, biết rằng chiết suất của không khí bằng 1 còn chiết suất của nước là 1,33.
Theo bài ra ta có: i = 50°, n1 = 1, n2 = 1,33, thay vào $\frac{sini}{sinr}=\frac{n_{2}}{n_{1}}$ ta được:
$\frac{sin50°}{sinr}=\frac{1.33}{1}$ (điều kiện sin r ≠ 0)
⇒ sin r = $\frac{sin50°}{1.33}$
⇔ sin r ≈ 0,57597 (thỏa mãn điều kiện)
⇔ sin r ≈ sin(35°10’)
⇔ r ≈35°10' + k360° hoặc r ≈180°-35°10' + k360° ($k\in Z$)
⇔ r ≈35°10' + k360° hoặc r ≈144°50' + k360° ($k\in Z$)
Mà 0° < r < 90° nên r ≈ 35°10’.
Vậy góc khúc xạ r ≈ 35°10’.