Wave

Giải toán 11 kết nối bài Bài tập cuối chương VII

Giải bài: Bài tập cuối chương VII sách toán 11 tập 2 kết nối tri thức. Phần đáp án chuẩn, hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài tập có trong chương trình học của sách giáo khoa. Hi vọng, các em học sinh hiểu và nắm vững kiến thức bài

A- TRẮC NGHIỆM

Bài tập 7.33 trang 64 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho các phát biểu sau:

(1) Hai mặt phẳng (P) và (Q) có giao tuyến là đường thẳng a và cùng vuông góc với
mặt phẳng (R) thì a(R).

(2) Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và có giao tuyến là đường thẳng a, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng a thì b(Q).

(3) Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và a vuông góc với (Q) thì (P)(Q).

(4) Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) thì a(Q).

Số phát biểu đúng trong các phát biểu trên là:
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.


C. 3.

Phát biểu (2) (3) (4) đúng

Bài tập 7.34 trang 64 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) và a là giao tuyến của (P) và (Q). Trong các phát biểu dưới đây, phát biểu nào đúng?

A. Đường thẳng d nằm trên (Q) thì d vuông góc với (P).

B. Đường thẳng d nằm trên (Q) và d vuông góc với a thì d vuông góc với (P).

C. Đường thẳng d vuông góc với a thì d vuông góc với (P).

D. Đường thẳng d vuông góc với (Q) thì d vuông góc với (P).


C. Đường thẳng d vuông góc với a thì d vuông góc với (P).

Điều này là đúng, vì khi hai đường thẳng vuông góc với một đường thẳng chung, chúng sẽ song song hoặc vuông góc với nhau.

Bài tập 7.35 trang 64 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Số đo của góc nhị diện [S,AB,C] bằng SBC^.

B. Số đo của góc nhị diện [D,SA,B] bằng 90.

C. Số đo của góc nhị diện [S, AC,B] bằng 90.

D. Số đo của góc nhị diện [D, SA,B] bằng BSD^.


D. Số đo của góc nhị diện [D, SA,B] bằng BSD^.

Góc nhị diện [D,SA,B] là góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SDB). Do
ABCD là hình tứ giác đều nên SB là đoạn thẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD) tại trung điểm M của
CD. Khi đó,$\widehat{BSD}  là góc giữa hai mặt phẳng (SMD) và (SBD). Tương tự, $widehat{SAD} là góc giữa hai mặt phẳng (SMD) và (SAB). Do đó, $widehat{BSD}=\widehat{SAD}$ và chúng là góc nhị diện [D,SA,B].

Bài tập 7.36 trang 64 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA(ABCD).

Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB).

B. Đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).

C. Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD).

D. Đường thẳng AD vuông góc với mặt phẳng (SAB).


C. Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD).

Ta có thể chứng minh rằng đường thẳng AC không vuông góc với mặt phẳng (SBD) bằng cách vẽ đường thẳng SC và chứng minh rằng đường thẳng AC không cắt đường thẳng SC theo góc vuông.

Bài tập 7.37 trang 64 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng S, chiều cao bằng h là:

A. V=S.h

B. V=12S.h

C. V=13S.h

D. V=23S.h


C. V=13S.h

B - TỰ LUẬN

Bài tập 7.38 trang 65 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho tứ diện OABCOA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA=a, OB=a2OC=2a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC).


d(O,(ABC))=|n.OA||n|

=|a(b2cc2b)+b(c2aa2c)+c(a2bb2a)|abca2b2+b2c2+c2a2=2a

Vậy, khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng 2a.

Bài tập 7.39 trang 65 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cân tại A, tam giác BCD cân tại D. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh rằng BC(AID).

b) Kẻ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh rằng AH(BCD).

c) Kẻ đường cao IJ của tam giác AID. Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của ADBC.


a) Ta có AB=AC, BC=BD nên tam giác ABD cân tại B. Suy ra BD là đường trung trực của ACBDAC.

Gọi M là trung điểm của AD. Khi đó, ta có IM//BDIM=12BD=12BC (do I là trung điểm của BC).

Suy ra tam giác AIM cân tại AAIIM. Như vậy, AI là đường cao của tam giác AIM, từ đó AIBC.

Do đó, ta có BC(AID).

b) Gọi H là giao điểm của AIBD. Khi đó, ta có AHBD (do H thuộc AI), BDACACAI (vì tam giác ABC cân tại A).

Suy ra AH//ACAHBCD.

c) Gọi J là trung điểm của ID. Khi đó, ta có IJ//ADIJ=12AD (do I là trung điểm của BCBC//AD).

Ta có AIBC, IDBC, suy ra AI//ID. Như vậy, tam giác AIMDID đồng dạng, từ đó ta có IJIM=IDAI.

Như vậy, IJAD=12IDAI=12IDIM. Do đó, IJ là đường vuông góc chung của ADBC.

Bài tập 7.40 trang 65 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC=aCAB^=30. Biết SA(ABC)SA=a2.

a) Chứng minh rằng (SBC)(SAB).

b) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng SC và khoảng cách từ điểm Ađến mặt phẳng (SBC).


a) Ta có SA(ABC) nên (SAB)(ABC). Mặt khác, ABBC nên (SAB)(SBC). Từ đó suy ra (SBC)(SAB).

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SC.

Do SA(ABC) nên AHBC.

Vậy AH là đường cao của tam giác vuông ABC, nên AH=a32.

Ta có SC=SA2AC2=a (vì AC=2AB=2a3=2a33).

SB=AB=a3, SC=a

BC=a2, BSC^=90

Vậy diện tích của tam giác SBCSSBC=12SBSC=a223.

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)SSBCBC=a26.

Bài tập 7.41 trang 65 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác SAD vuông cân tại S và (SAD)(ABCD).

a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳngADSC.


a) Gọi H là trung điểm của AD 

Ta có:

AH=a22

SH=SAAH=a2a22=a22

Thể tích khối chóp S.ABCD là 

V=13.SABCD.SH=13.a2.a22=a326

b) SE vuông góc với đường thẳng ADE thộc AD 

Gọi M là trung điểm cua BC. Ta có SMBCSM=a22 

BM=BC2=a22,CM=a22

Vậy MC//AE ,ta có

AE=ACCE=AB+BCBM

=a+a2a22=3a+2a22

Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng ADSC

CE=AE sin45=(3+22)a4

 

Bài tập 7.42 trang 65 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình hộp ABCD.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a, AA(ABCD)BAD^=60.

a) Tính thể tích của khối hộp ABCD.ABCD.

b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABD).


a) V=SABCDAA=a332.12a=a334

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (ABD)

Gọi M là trung điểm BD.

Ta có AM=AD2=a2BM=BD2=a34, khi đó

AH=AM.cosAMB^

=a2.12a(a2)2+(a34)2=a34

Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABD)a34

Bài tập 7.43 trang 65 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D'. Biết A'.ABCD là hình chóp đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng a. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' và thể tích của khối chóp A'.BB'C'C.


Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' là:

Vlăngtr=Shìnhbìnhhành+Smtbên=a2+a2.22=a2.((2+2)2)

Để tính thể tích của khối chóp A'.BB'C'C

Ta đã tính được Sđáy=a2, h=a (vì đây là hình chóp đều), nên thể tích của khối chóp là: VA.BBCC=13.Sday.h=13.a2.a=a33

Vậy thể tích của khối chóp A'.BB'C'C là a33.

 

Bài tập 7.44 trang 65 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB//CDAB=BC=DA=a, CD=2a. Biết hai mặt phẳng (SAC)(SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD)SA=a2 tích của khối chóp S.ABCD.


Gọi O là trung điểm của AB. Ta có OC=12CD=a

OSACAS=OC=a. Mặt khác, (SAC)(ABCD) nên (SAC)AB. Suy ra ASSAC

Tương tự, ta có SDBDBD//AC, suy ra SDSBD. Do (SBD) vuông góc với (ABCD), nên (SBD)BD. Suy ra SD là đường cao của tam giác SBD.

ABCD là hình thang cân nên ta có: 

VABCD=12(AB+CD).h=12(a+2a).a=32a2

thể tích khối chóp S.ABCD bằng:

VS.ABCD=13SABCD.a2=13.32a2.a2=12a32

Bài tập 7.45 trang 65 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột AB có chiều dài bằng 10 m và tạo với mặt đất góc 80. Tại một thời điểm dưới ánh sáng mặt trời, bóng BC của cây cột trên mặt đất dài 12 m vào tạo với cây cột một góc bằng 120 (tức là ABC^=120). Tính góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm nói trên.


Gọi D là vị trí của tia sáng mặt trời và E là giao điểm của đường thẳng chứa BD và mặt đất 

Ta có, ABE^=90BAC^=10

AEB^=180ABD^

Ta lại có BDC^=80 suy ra BDA^=BDC^=10

AED^=80BED^=ABD^+AEB^=80+10=90

Ta lại có BEC^=180CED^ 

Trong tam giác BEC , ta có 

tan(BCD^)=tan(10)

=BCCD=BC2BCcot(80)=12tan(80)

Do đó tan(BCE^)=tan(90BCD^)

=cot(BCD^)=1tan(10)=tan(80)

BEC^=90EBC^=12BEC^=45

Ta tính được 

DEB^=DEC^BEC^

=90BCE^BEC^

=904580=35